ในวิชาคณิตศาสตร์ ส่วนกลับของตัวเลขคือจำนวนที่เมื่อคูณด้วยจำนวนเดิมจะได้ 1 ตัวอย่างเช่น ส่วนกลับของตัวแปร x คือ 1/x, เพราะ
x × \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1
ในตัวอย่างนี้ 1/xเป็นอัตลักษณ์ซึ่งกันและกันของx, และในทางกลับกัน. ในตรีโกณมิติ มุมใดมุมหนึ่งที่ไม่ใช่ 90 องศาในสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถกำหนดได้ด้วยอัตราส่วนที่เรียกว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ นักคณิตศาสตร์กำหนดอัตราส่วนอีกสามอัตราส่วนโดยใช้แนวคิดเรื่องอัตลักษณ์ซึ่งกันและกัน ชื่อของพวกมันคือโคซีแคนต์ ซีแคนต์ และโคแทนเจนต์ โคซีแคนต์คือเอกลักษณ์ส่วนกลับของไซน์ ซีแคนต์ของโคไซน์และโคแทนเจนต์ของแทนเจนต์
วิธีการกำหนดอัตลักษณ์ซึ่งกันและกัน
พิจารณามุมθซึ่งเป็นหนึ่งในสองมุมที่ไม่ใช่ 90 องศาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าความยาวของด้านของสามเหลี่ยมตรงข้ามมุมเป็น "ข," ความยาวของด้านประชิดมุมและตรงข้ามด้านตรงข้ามมุมฉากคือ "" และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ "r," เราสามารถกำหนดอัตราส่วนตรีโกณมิติหลักสามตัวในแง่ของความยาวเหล่านี้
\text{sine } θ = \sin θ = \frac{b}{r} \\ \,\\ \text{cosine }θ = \cos θ = \frac{a}{r} \\ \,\\ \text{แทนเจนต์ }θ = \tan θ = \frac{b}{a} \\
อัตลักษณ์ซึ่งกันและกันของบาปθต้องเท่ากับ 1/บาป θ เนื่องจากเป็นจำนวนที่เมื่อคูณด้วยบาปθ, ผลิต 1 เช่นเดียวกับ cosθและ tanθ. นักคณิตศาสตร์ตั้งชื่อส่วนกลับเหล่านี้ว่า cosecant, secant และ cotangent ตามลำดับ ตามคำจำกัดความ:
\text{cosecant }θ = \csc θ = \frac{1}{\sin θ} \\ \,\\ \text{secant }θ = \sec θ = \frac{1}{\cos θ} \\ \,\\ \text{โคแทนเจนต์ }θ = \cot θ = \frac{1}{\tan θ}
คุณสามารถกำหนดอัตลักษณ์ส่วนกลับเหล่านี้ในแง่ของความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้:
\csc θ = \frac{r}{b} \\ \,\\ \sec θ = \frac{r}{a} \\ \,\\ \cot θ = \frac{a}{b}
ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริงในทุกมุมθ:
\sin θ × \csc θ = 1 \\ \cos θ × \sec θ = 1 \\ \tan θ × \cot θ = 1
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติอื่น ๆ อีกสองรายการ
ถ้าคุณรู้ไซน์และโคไซน์ของมุม คุณจะได้ค่าแทนเจนต์ นี่เป็นเรื่องจริงเพราะ
\sin θ = \frac{b}{r} \text{ and } \cos θ = \frac{a}{r} \text{, ดังนั้น } \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac {b}{r} × \frac{r}{a} = \frac{b}{a}
เนื่องจากนี่คือคำจำกัดความของ tan θ เอกลักษณ์ต่อไปนี้ เรียกว่า เอกลักษณ์ทางผลหาร มีดังต่อไปนี้:
\frac{\sin θ}{\cos θ} = \tan θ \\ \,\\ \frac{\cos θ}{\sin θ} = \cot θ
อัตลักษณ์พีทาโกรัสสืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ที่มีด้านและขและด้านตรงข้ามมุมฉากrต่อไปนี้เป็นจริง:2 + ข2 = r2. การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่และกำหนดอัตราส่วนในแง่ของไซน์และโคไซน์ คุณมาถึงนิพจน์ต่อไปนี้:
\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1
ความสัมพันธ์ที่สำคัญอื่นๆ อีกสองความสัมพันธ์จะตามมาเมื่อคุณแทรกข้อมูลเฉพาะตัวส่วนกลับสำหรับไซน์และโคไซน์ในนิพจน์ข้างต้น:
\tan^2 θ + 1 = \sec^2 θ \\ \cot^2 θ + 1 = \csc^2 θ