เรขาคณิตประเภทต่างๆ

เรขาคณิตคือการศึกษารูปทรงและขนาดในมิติต่างๆ รากฐานของเรขาคณิตส่วนใหญ่เขียนใน "Elements" ของ Euclid ซึ่งเป็นหนึ่งในตำราทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด เรขาคณิตมีความก้าวหน้ามาตั้งแต่สมัยโบราณอย่างไรก็ตาม ปัญหาเรขาคณิตสมัยใหม่ไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับตัวเลขในสองหรือสามมิติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัญหาที่ซับซ้อนกว่าด้วย เช่น การศึกษาความแตกต่างและสนามโน้มถ่วง

เรขาคณิตแบบยุคลิดหรือแบบคลาสสิกเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่รู้จักมากที่สุด และเป็นเรขาคณิตที่สอนบ่อยที่สุดในโรงเรียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระดับที่ต่ำกว่า ยูคลิดอธิบายรูปแบบเรขาคณิตนี้อย่างละเอียดใน "องค์ประกอบ" ซึ่งถือเป็นหนึ่งในรากฐานที่สำคัญของคณิตศาสตร์ ผลกระทบของ "องค์ประกอบ" นั้นใหญ่มากจนไม่มีการใช้รูปทรงเรขาคณิตแบบอื่นมาเกือบ 2,000 ปีแล้ว

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเป็นส่วนเสริมของหลักการทางเรขาคณิตของยุคลิดไปสู่วัตถุสามมิติ เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดหรือที่เรียกว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกหรือรูปวงรี รวมถึงเรขาคณิตทรงกลม เรขาคณิตวงรี และอื่นๆ เรขาคณิตสาขานี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทที่คุ้นเคย เช่น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนั้นแตกต่างกันมากในพื้นที่สามมิติอย่างไร

เรขาคณิตวิเคราะห์คือการศึกษารูปเรขาคณิตและโครงสร้างโดยใช้ระบบพิกัด เส้นและส่วนโค้งแสดงเป็นชุดของพิกัด ซึ่งสัมพันธ์กันโดยกฎการโต้ตอบซึ่งมักจะเป็นฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ ระบบพิกัดที่ใช้กันมากที่สุดคือระบบคาร์ทีเซียน ขั้ว และพาราเมตริก

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ศึกษาระนาบ เส้น และพื้นผิวในปริภูมิสามมิติโดยใช้หลักการของอินทิกรัลและแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตสาขานี้มุ่งเน้นไปที่ปัญหาที่หลากหลาย เช่น พื้นผิวสัมผัส geodesics (เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนพื้นผิวของทรงกลม) ท่อร่วมที่ซับซ้อน และอื่นๆ อีกมากมาย การประยุกต์ใช้สาขาเรขาคณิตนี้มีตั้งแต่ปัญหาทางวิศวกรรมไปจนถึงการคำนวณสนามโน้มถ่วง