ในชีวิตประจำวันคนส่วนใหญ่ใช้คำว่า useความเร็วและความเร็วแทนกันได้ แต่สำหรับนักฟิสิกส์ พวกมันเป็นตัวอย่างของปริมาณสองประเภทที่แตกต่างกันมาก
ปัญหาทางกลศาสตร์จัดการกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ และในขณะที่คุณสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ในแง่ของความเร็วได้ ทิศทางเฉพาะของบางสิ่งที่กำลังดำเนินไปมักจะมีความสำคัญอย่างยิ่งยวด
ในทำนองเดียวกัน แรงที่ใช้กับวัตถุอาจมาจากหลายทิศทาง เช่น ลองนึกถึงแรงดึงของฝ่ายตรงข้ามในการชักเย่อ เป็นต้น นักฟิสิกส์อธิบายสถานการณ์เช่นนี้ จำเป็นต้องใช้ปริมาณที่อธิบายทั้ง "ขนาด" ของสิ่งต่าง ๆ เช่นแรงและทิศทางที่พวกมัน กระทำ ปริมาณเหล่านี้เรียกว่าเวกเตอร์.
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
เวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทางเฉพาะ แต่ปริมาณสเกลาร์มีเพียงขนาดเท่านั้น
เวกเตอร์เทียบกับ สเกลาร์
ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างเวกเตอร์และสเกลาร์คือขนาดของเวกเตอร์ไม่ได้อธิบายไว้ทั้งหมด ต้องมีทิศทางที่กำหนดไว้ด้วย
ทิศทางของเวกเตอร์สามารถระบุได้หลายวิธี ไม่ว่าจะผ่านเครื่องหมายบวกหรือลบที่อยู่ข้างหน้า โดยแสดงในรูปของส่วนประกอบ (ค่าสเกลาร์ถัดจากค่าที่เหมาะสมผม, เจและk“เวกเตอร์หน่วย” ซึ่งสอดคล้องกับพิกัดคาร์ทีเซียนของ
ในทางตรงกันข้าม สเกลาร์เป็นเพียงขนาดของเวกเตอร์โดยไม่มีสัญลักษณ์หรือข้อมูลใดๆ เพิ่มเติม เช่น ความเร็วเทียบเท่าสเกลาร์ของเวกเตอร์ความเร็ว จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ มันคือค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์
อย่างไรก็ตาม ปริมาณจำนวนมาก เช่น พลังงาน ความดัน ความยาว มวล กำลัง และอุณหภูมิ เป็นตัวอย่างของสเกลาร์ที่ไม่ใช่แค่ขนาดของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน คุณไม่จำเป็นต้องรู้ "ทิศทาง" ของมวล เช่น เพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์เป็นสมบัติทางกายภาพ
มีข้อเท็จจริงที่ขัดกับสัญชาตญาณบางประการที่คุณสามารถเข้าใจได้เมื่อคุณทราบความแตกต่างระหว่างสเกลาร์ และเวกเตอร์ เช่น ความคิดที่ว่าบางสิ่งอาจมีความเร็วคงที่แต่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ความเร็ว. ลองนึกภาพรถยนต์ที่ขับด้วยความเร็วคงที่ 10 กม./ชม. แต่เป็นวงกลม เนื่องจากทิศทางของเวกเตอร์เป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความ เวกเตอร์ความเร็วของรถจึงเสมอ is ในตัวอย่างนี้เปลี่ยนแปลง แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าขนาดของเวกเตอร์ (เช่น ความเร็ว) จะเป็น คงที่
ตัวอย่างปริมาณเวกเตอร์
มีตัวอย่างเวกเตอร์มากมายในวิชาฟิสิกส์ แต่ตัวอย่างที่รู้จักกันดีบางตัวอย่าง ได้แก่ แรง โมเมนตัม ความเร่ง และความเร็ว ซึ่งทั้งหมดนี้มีลักษณะเด่นอย่างยิ่งในฟิสิกส์คลาสสิก เวกเตอร์ความเร็วสามารถแสดงเป็น 25 m/s ไปทางทิศตะวันออก −8 km/h ในy-ทิศทาง,วี= 5 เมตร/วินาทีผม+ 10 เมตร/วินาทีเจหรือ 10 เมตร/วินาทีในทิศทาง 50 องศาจากx-แกน.
เวกเตอร์โมเมนตัมเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่คุณสามารถใช้เพื่อดูว่าขนาดและทิศทางของเวกเตอร์แสดงในฟิสิกส์อย่างไร งานเหล่านี้เหมือนกับตัวอย่างเวกเตอร์ความเร็ว โดย 50 กก. m/s ไปทางทิศตะวันตก -12 กม./ชม. ในzทิศทาง,พี= 12 กก. ม./วินาทีผม– 10 กก. ม./วินาทีเจ– 15 กก. ม./วินาทีkและ 100 kg m/s 30 องศาจากx-axis เป็นตัวอย่างของวิธีการแสดง จุดพื้นฐานเดียวกันนั้นใช้สำหรับการแสดงเวกเตอร์ความเร่ง โดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือหน่วยของ m/s2 และสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับเวกเตอร์.
แรงคือตัวอย่างสุดท้ายของนิพจน์เวกเตอร์เหล่านี้ และในขณะที่มีความคล้ายคลึงกันหลายประการ โดยใช้พิกัดทรงกระบอก (r, θ, z) แทนพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถช่วยแสดงวิธีอื่นๆ ที่อาจแสดงได้ ตัวอย่างเช่น คุณอาจเขียนแรงเป็นF= 10 Nr+ 35 ไม่มี𝛉สำหรับแรงที่มีส่วนประกอบอยู่ในแนวรัศมีและแนวราบ หรืออธิบายแรงโน้มถ่วงบนวัตถุขนาด 1 กิโลกรัมบนโลกเป็น 10 N ใน –rทิศทาง (เช่น มุ่งสู่ศูนย์กลางของโลก)
สัญกรณ์เวกเตอร์ในไดอะแกรม
ในไดอะแกรม เวกเตอร์จะแสดงโดยใช้ลูกศร โดยขนาดของเวกเตอร์แทนด้วยความยาวของลูกศรและทิศทางที่แสดงโดยทิศทางที่ลูกศรชี้ ตัวอย่างเช่น ลูกศรที่ใหญ่กว่าแสดงว่าแรงมีขนาดใหญ่กว่า (เช่น นิวตันหรือขนาดที่ใหญ่กว่า) มากกว่าแรงอื่น
สำหรับเวกเตอร์ที่แสดงการเคลื่อนที่ เช่น โมเมนตัมหรือเวกเตอร์ความเร็วเวกเตอร์ศูนย์(กล่าวคือ เวกเตอร์ที่ไม่แสดงความเร็วหรือโมเมนตัม) จะแสดงโดยใช้จุดเดียว
เป็นที่น่าสังเกตว่าเนื่องจากความยาวของลูกศรแสดงถึงขนาดของเวกเตอร์ และการวางแนวแสดงถึงทิศทางของเวกเตอร์ เป็นประโยชน์ในการพยายามทำให้ถูกต้องตามสมควรเมื่อสร้างไดอะแกรมเวกเตอร์ ไม่จำเป็นต้องสมบูรณ์แบบ แต่ถ้าเวกเตอร์ใหญ่เป็นสองเท่าของเวกเตอร์ข, ลูกศรควรยาวเป็นสองเท่าโดยประมาณ
การบวกและการลบเวกเตอร์
การบวกเวกเตอร์และการลบเวกเตอร์นั้นซับซ้อนกว่าการบวกและการลบสเกลาร์เล็กน้อย แต่คุณสามารถเลือกแนวคิดได้อย่างง่ายดาย มีสองวิธีหลักที่คุณสามารถใช้ได้ และแต่ละวิธีก็มีศักยภาพในการใช้งาน ขึ้นอยู่กับปัญหาเฉพาะที่คุณกำลังแก้ไข
วิธีแรกและง่ายที่สุดที่จะใช้เมื่อคุณได้รับเวกเตอร์สองเวกเตอร์ในรูปแบบส่วนประกอบ คือเพียงแค่เพิ่มส่วนประกอบที่ตรงกันในลักษณะเดียวกับที่คุณเพิ่มสเกลาร์ธรรมดา ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการเพิ่มแรงทั้งสอง twoF1 = 5 Nผม+ 10 ไม่มีเจและF2 = 6 Nผม+ 15 ไม่มีเจ+ 10 ไม่มีkคุณจะเพิ่มผมส่วนประกอบ จากนั้นเจส่วนประกอบและสุดท้ายkส่วนประกอบดังต่อไปนี้:
\begin{aligned} \bm{F}_1 + \bm{F}_2 &= (5 \;\text{N} \;\bold{i} + 10 \;\text{N}\;\bold{ j}) + (6 \;\text{N} \;\bold{i} + 15 \;\text{N}\;\bold{j} + 10 \;\text{N}\;\bold{ k}) \\ &= (5 \;\text{N} + 6 \;\text{N}) \bold{i} + (10 \;\text{N} + 15 \;\text{N}) \bold{j} + (0 \;\text{N} + 10 \;\text{N}) \bold{k} \\ &= 11 \;\text{N} \;\bold{i} + 25 \;\text{N} \;\bold{j} + 10 \;\text{N} \;\ตัวหนา{k} \end{จัดตำแหน่ง}
การลบเวกเตอร์ทำงานในลักษณะเดียวกันทุกประการ ยกเว้นว่าคุณลบปริมาณแทนที่จะบวก การบวกเวกเตอร์ก็สับเปลี่ยนเช่นกัน เช่นเดียวกับการบวกธรรมดาด้วยจำนวนจริง ดังนั้น + ข = ข + .
คุณยังสามารถทำการบวกเวกเตอร์โดยใช้ไดอะแกรมลูกศรโดยวางลูกศรเวกเตอร์หัวต่อท้ายแล้ว วาดลูกศรเวกเตอร์ใหม่สำหรับผลรวมของเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อหางของลูกศรแรกกับหัวของ ที่สอง
หากคุณมีการบวกเวกเตอร์อย่างง่ายด้วยหนึ่งในx-ทิศทางและอื่น ๆ ในy-ทิศทาง ไดอะแกรมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถเติมเวกเตอร์ให้สมบูรณ์และกำหนดขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ที่ได้ด้วยการ "แก้" สามเหลี่ยมโดยใช้ตรีโกณมิติและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ผลิตภัณฑ์ Dot และ Cross Product
การคูณเวกเตอร์ซับซ้อนกว่าการคูณด้วยสเกลาร์เล็กน้อยสำหรับจำนวนจริง แต่รูปแบบการคูณหลักสองรูปแบบคือผลคูณดอทและผลคูณไขว้ ผลิตภัณฑ์ดอทเรียกว่าผลิตภัณฑ์สเกลาร์และถูกกำหนดเป็น:
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
หรือ
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = \lvert\bm{u}\rvert\lvert\bm{v}\rvert \text{cos}(θ)
ที่ไหนθคือมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว และตัวห้อย 1, 2 และ 3 แทนองค์ประกอบที่หนึ่ง ที่สอง และสามของเวกเตอร์ ผลลัพธ์ของดอทโปรดัคคือสเกลาร์
ผลิตภัณฑ์ข้ามถูกกำหนดเป็น:
\bm{a} \; \bold{×} \;\bm{b} =(a_2b_3 − a_3b_2, a_3b_1 − a_1b_3,a_1b_2 − a_2b_1)
ด้วยเครื่องหมายจุลภาคคั่นส่วนประกอบของผลลัพธ์ในทิศทางต่างๆ