Maxwell-Boltzmann การกระจาย: ฟังก์ชัน ที่มา & ตัวอย่าง

การอธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นกับอนุภาคขนาดเล็กมากเป็นความท้าทายในวิชาฟิสิกส์ ไม่เพียงแต่ขนาดของพวกมันจะใช้งานยากเท่านั้น แต่ในการใช้งานประจำวันส่วนใหญ่ คุณไม่ได้จัดการกับอนุภาคเพียงชิ้นเดียว แต่มีพวกมันจำนวนนับไม่ถ้วนที่มีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน

ภายในของแข็ง อนุภาคจะไม่เคลื่อนที่ผ่านกันและกัน แต่ค่อนข้างจะติดอยู่กับที่ ของแข็งสามารถขยายตัวและหดตัวตามการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ และบางครั้งอาจได้รับการเปลี่ยนแปลงที่น่าสนใจในโครงสร้างผลึกในบางสถานการณ์

ในของเหลว อนุภาคมีอิสระที่จะเคลื่อนที่ผ่านกันและกัน นักวิทยาศาสตร์มักไม่ศึกษาของเหลวโดยพยายามติดตามว่าแต่ละโมเลกุลกำลังทำอะไรอยู่ แต่จะพิจารณาคุณสมบัติโดยรวมที่ใหญ่กว่า เช่น ความหนืด ความหนาแน่น และแรงดัน

เช่นเดียวกับของเหลว อนุภาคภายในก๊าซก็สามารถเคลื่อนที่ผ่านกันและกันได้อย่างอิสระ อันที่จริง ก๊าซสามารถเปลี่ยนแปลงปริมาตรได้อย่างมากเนื่องจากความแตกต่างของอุณหภูมิและความดัน

อีกครั้ง มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะศึกษาก๊าซด้วยการติดตามว่าโมเลกุลของก๊าซแต่ละตัวกำลังทำอะไรอยู่ แม้แต่ในสภาวะสมดุลทางความร้อน มันคงเป็นไปไม่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณพิจารณาว่าแม้ในช่องว่างของแก้วน้ำเปล่าก็มีประมาณ 10

22 โมเลกุลของอากาศ ไม่มีแม้แต่คอมพิวเตอร์ที่มีพลังเพียงพอที่จะทำการจำลองโมเลกุลที่มีปฏิสัมพันธ์จำนวนมาก นักวิทยาศาสตร์กลับใช้คุณสมบัติระดับมหภาค เช่น ความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิเพื่อศึกษาก๊าซและคาดการณ์อย่างแม่นยำ

ก๊าซในอุดมคติคืออะไร?

ประเภทของก๊าซที่วิเคราะห์ได้ง่ายที่สุดคือก๊าซในอุดมคติ เหมาะอย่างยิ่งเพราะช่วยให้เข้าใจง่ายขึ้นซึ่งทำให้ฟิสิกส์เข้าใจง่ายขึ้นมาก ก๊าซหลายชนิดที่อุณหภูมิและความดันมาตรฐานทำหน้าที่เป็นก๊าซในอุดมคติโดยประมาณ ซึ่งทำให้การศึกษาก๊าซเหล่านี้มีประโยชน์เช่นกัน

ในก๊าซอุดมคติ โมเลกุลของแก๊สจะชนกันในการชนกันที่ยืดหยุ่นได้อย่างสมบูรณ์ คุณจึงไม่ต้องกังวลกับรูปแบบการเปลี่ยนแปลงของพลังงานอันเป็นผลมาจากการชนดังกล่าว นอกจากนี้ยังสันนิษฐานว่าโมเลกุลอยู่ห่างจากกันมากซึ่งโดยพื้นฐานแล้วหมายถึง คุณไม่ต้องกังวลว่าพวกมันจะต่อสู้กันเพื่อพื้นที่และสามารถปฏิบัติต่อพวกเขาได้อย่างตรงประเด็น อนุภาค ก๊าซในอุดมคตินั้นไม่ร้อนเกินไปและไม่เย็นเกินไป ดังนั้นคุณจึงไม่ต้องกังวลกับผลกระทบ เช่น การทำให้แตกตัวเป็นไอออนหรือเอฟเฟกต์ควอนตัม

จากจุดนี้ อนุภาคก๊าซสามารถถูกบำบัดได้เหมือนอนุภาคจุดเล็กๆ ที่กระเด้งไปมาภายในภาชนะ แต่ถึงแม้จะทำให้เข้าใจง่ายนี้ ก็ยังไม่มีความเป็นไปได้ที่จะเข้าใจก๊าซโดยการติดตามว่าแต่ละอนุภาคกำลังทำอะไร อย่างไรก็ตาม ช่วยให้นักวิทยาศาสตร์สามารถพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณมหภาค

กฎหมายแก๊สในอุดมคติ

กฎของแก๊สในอุดมคติเกี่ยวข้องกับความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิของก๊าซในอุดมคติ ความดันพีของแก๊สคือแรงต่อหน่วยพื้นที่ที่มันกระทำต่อผนังของภาชนะที่มันอยู่ หน่วยความดัน SI คือปาสกาล (Pa) โดยที่ 1Pa = 1N/m2. ปริมาณวีของก๊าซคือปริมาณของพื้นที่ที่ใช้เป็นหน่วย SI ของ m3. และอุณหภูมิตู่ของก๊าซคือการวัดพลังงานจลน์เฉลี่ยต่อโมเลกุล ซึ่งวัดเป็นหน่วย SI ของเคลวิน

สมการอธิบายกฎของแก๊สในอุดมคติสามารถเขียนได้ดังนี้

PV=NkT

ที่ไหนนู๋คือจำนวนโมเลกุลหรือจำนวนอนุภาคและค่าคงที่โบลต์ซมันน์k​ = 1.38064852×10-23 kgm2/s2เค

สูตรที่เทียบเท่ากันของกฎหมายนี้คือ:

ที่ไหนคือจำนวนโมลและค่าคงที่แก๊สสากลR= 8.3145 J/molK.

สองนิพจน์นี้มีค่าเท่ากัน อันไหนที่คุณเลือกใช้นั้นขึ้นอยู่กับว่าคุณกำลังวัดจำนวนโมเลกุลเป็นโมลหรือจำนวนโมเลกุล

เคล็ดลับ

  • 1 โมล = 6.022×1023 โมเลกุล ซึ่งเป็นเลขของอโวกาโดร

ทฤษฎีจลนศาสตร์ของแก๊ส

เมื่อก๊าซถูกประมาณว่าเหมาะสมแล้ว คุณสามารถทำให้เข้าใจง่ายขึ้นได้ นั่นคือ แทนที่จะพิจารณาฟิสิกส์ที่แน่นอนของแต่ละโมเลกุล - ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากจำนวนที่แท้จริงของพวกมัน - พวกมันจะถือว่าการเคลื่อนไหวของพวกมันเป็นแบบสุ่ม ด้วยเหตุนี้ สถิติจึงสามารถนำไปใช้เพื่อทำความเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้น

ในศตวรรษที่ 19 นักฟิสิกส์ James Clerk Maxwell และ Ludwig Boltzmann ได้พัฒนาทฤษฎีจลนพลศาสตร์ของก๊าซโดยอาศัยการอธิบายอย่างง่ายที่อธิบายไว้

ตามหลักแล้ว แต่ละโมเลกุลในแก๊สสามารถมีพลังงานจลน์ที่มาจากรูปแบบดังนี้

E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าทุกโมเลกุลในแก๊สจะมีพลังงานจลน์เท่ากันเพราะชนกันอยู่ตลอดเวลา การกระจายตัวที่แน่นอนของพลังงานจลน์ของโมเลกุลนั้นมาจากการแจกแจงของแมกซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์

สถิติแมกซ์เวลล์-โบลซ์มันน์

สถิติของ Maxwell-Boltzmann อธิบายการกระจายตัวของโมเลกุลก๊าซในอุดมคติเหนือสถานะพลังงานต่างๆ ฟังก์ชันที่อธิบายการแจกแจงนี้มีดังต่อไปนี้:

f (E)=\frac{1}{Ae^{\frac{E}{kT}}}

ที่ไหนอาเป็นค่าคงที่นอร์มัลไลเซชันอีคือพลังงานkเป็นค่าคงที่ของ Boltzmann และตู่คืออุณหภูมิ

สมมติฐานเพิ่มเติมเพื่อให้ได้ฟังก์ชันนี้คือ เนื่องจากธรรมชาติของอนุภาคจุด ไม่มีการจำกัดจำนวนอนุภาคที่สามารถครอบครองสถานะที่กำหนดได้ นอกจากนี้ การกระจายของอนุภาคระหว่างสถานะพลังงานจำเป็นต้องมีการกระจายที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด (ด้วย อนุภาคจำนวนมากขึ้น โอกาสที่ก๊าซจะไม่เข้าใกล้การกระจายตัวนี้จะเพิ่มมากขึ้น เล็ก) และสุดท้าย สถานะพลังงานทั้งหมดมีความเป็นไปได้เท่ากัน

สถิติเหล่านี้ใช้ได้เพราะไม่น่าเป็นไปได้อย่างยิ่งที่อนุภาคใด ๆ จะจบลงด้วยพลังงานที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยอย่างมาก ถ้าเป็นเช่นนั้น นั่นจะทำให้วิธีกระจายพลังงานทั้งหมดที่เหลือน้อยลงมาก เป็นเกมตัวเลข เนื่องจากมีหลายสถานะพลังงานที่ไม่มีอนุภาคที่สูงกว่าค่าเฉลี่ย ความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะดังกล่าวจึงน้อยมาก

อย่างไรก็ตาม พลังงานที่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยนั้นมีความเป็นไปได้มากกว่า อีกครั้งเนื่องจากความน่าจะเป็นที่เล่นออกมา เนื่องจากการเคลื่อนที่ทั้งหมดถือเป็นแบบสุ่ม และมีหลายวิธีที่อนุภาคสามารถจบลงด้วยสถานะพลังงานต่ำได้ สถานะเหล่านี้จึงเป็นที่นิยม

การกระจายของ Maxwell-Boltzmann

การกระจาย Maxwell-Boltzmann คือการกระจายความเร็วของอนุภาคก๊าซในอุดมคติ ฟังก์ชันการกระจายความเร็วนี้สามารถหาได้จากสถิติของ Maxwell-Boltzmann และใช้เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิ

การกระจายความเร็ววีกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

f (v)=4\pi \Big[\frac{m}{2\pi kT}\Big]^{3/2}v^2e^{[\frac{-mv^2}{2kT}]}

ที่ไหนคือมวลของโมเลกุล

เส้นโค้งการกระจายที่เกี่ยวข้องพร้อมฟังก์ชันการกระจายความเร็วบนy-แกนและความเร็วโมเลกุลบน onx-axis ดูเหมือนเส้นโค้งปกติที่ไม่สมมาตรโดยมีหางยาวอยู่ทางด้านขวา มีค่าสูงสุดที่ความเร็วที่เป็นไปได้มากที่สุดวีพีและความเร็วเฉลี่ยที่กำหนดโดย:

v_{avg}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}

สังเกตด้วยว่ามันมีหางแคบยาวอย่างไร เส้นโค้งเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่อุณหภูมิต่างกัน โดยหางยาวจะ "อ้วนขึ้น" ที่อุณหภูมิสูงขึ้น

ตัวอย่างการใช้งาน

ใช้ความสัมพันธ์:

E_{int}=N\times KE_{avg}=\frac{3}{2}NkT

ที่ไหนอีintคือพลังงานภายในKEเฉลี่ย คือพลังงานจลน์เฉลี่ยต่อโมเลกุลจากการแจกแจงของแมกซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ ร่วมกับกฎของแก๊สในอุดมคติ เป็นไปได้ที่จะได้รับความสัมพันธ์ระหว่างความดันและปริมาตรในแง่ของการเคลื่อนที่ของโมเลกุล:

PV = \frac{2}{3}N\times KE_{avg}

  • แบ่งปัน
instagram viewer