จลนศาสตร์การหมุน: มันคืออะไร & เหตุใดจึงสำคัญ (พร้อมสมการและตัวอย่าง)

จลนศาสตร์เป็นสาขาทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ที่ใช้สมการอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุ (โดยเฉพาะวิถี) โดยไม่อ้างถึงกำลัง

นั่นคือ คุณสามารถใส่ตัวเลขต่างๆ ลงในเซตของสมการจลนศาสตร์สี่ชุดเพื่อค้นหาค่าที่ไม่รู้จักใน สมการเหล่านั้นโดยไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับฟิสิกส์เบื้องหลังการเคลื่อนที่นั้น อาศัยแต่พีชคณิตของคุณเท่านั้น ทักษะ

คิดว่า "จลนศาสตร์" เป็นการรวมกันของ "จลนศาสตร์" และ "คณิตศาสตร์" หรืออีกนัยหนึ่งคือคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนไหว

จลนศาสตร์การหมุนคือสิ่งนี้ แต่มันเกี่ยวข้องกับวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยเฉพาะมากกว่าในแนวนอนหรือแนวตั้ง เช่นเดียวกับวัตถุในโลกของการเคลื่อนที่แบบแปลน วัตถุที่หมุนได้เหล่านี้สามารถอธิบายได้ในแง่ของการกระจัด ความเร็ว และ ความเร่งเมื่อเวลาผ่านไป แม้ว่าตัวแปรบางตัวจำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงเพื่อรองรับความแตกต่างพื้นฐานระหว่างเส้นตรงและเชิงมุม การเคลื่อนไหว

เป็นประโยชน์อย่างยิ่งในการเรียนรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการเคลื่อนที่เชิงเส้นและการเคลื่อนที่แบบหมุนพร้อมกัน หรืออย่างน้อยก็แนะนำให้รู้จักกับตัวแปรและสมการที่เกี่ยวข้องกัน นี่ไม่ใช่การครอบงำคุณ แต่มีไว้เพื่อเน้นย้ำความคล้ายคลึงกัน

แน่นอน สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือเมื่อเรียนรู้เกี่ยวกับ "ประเภท" ของการเคลื่อนไหวในอวกาศว่าการแปลและการหมุนไม่ได้เกิดขึ้นพร้อมกัน อันที่จริง วัตถุที่เคลื่อนไหวส่วนใหญ่ในโลกแห่งความเป็นจริงแสดงการเคลื่อนไหวทั้งสองประเภทรวมกัน โดยหนึ่งในนั้นมักจะไม่ปรากฏชัดในครั้งแรก

เนื่องจาก "ความเร็ว" โดยทั่วไปหมายถึง "ความเร็วเชิงเส้น" และ "ความเร่ง" หมายถึง "ความเร่งเชิงเส้น" เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น จึงควรทบทวนตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างง่ายๆ ของการเคลื่อนที่พื้นฐาน

การเคลื่อนที่เชิงเส้นตรงหมายถึงการเคลื่อนไหวที่จำกัดอยู่ในบรรทัดเดียว ซึ่งมักกำหนดตัวแปร "x" ปัญหาการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์เกี่ยวข้องกับทั้ง x- และ มิติ y และแรงโน้มถ่วงเป็นแรงภายนอกเพียงอย่างเดียว (โปรดทราบว่าปัญหาเหล่านี้อธิบายว่าเกิดขึ้นในโลกสามมิติ เช่น “ลูกกระสุนปืนใหญ่ ถูกไล่ออก…”)

โปรดทราบว่ามวลมไม่เข้าสู่สมการจลนศาสตร์ใดๆ เนื่องจากผลกระทบของแรงโน้มถ่วงต่อการเคลื่อนที่ของวัตถุคือ ไม่ขึ้นกับมวล และปริมาณ เช่น โมเมนตัม ความเฉื่อย และพลังงาน ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของสมการใดๆ ของ การเคลื่อนไหว

เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบหมุนนั้นเกี่ยวข้องกับการศึกษาเส้นทางวงกลม การเคลื่อนไหว) แทนที่จะใช้เมตรอธิบายการกระจัดของวัตถุ คุณใช้เรเดียนหรือองศา แทน.

เรเดียนบนพื้นผิวเป็นหน่วยที่น่าอึดอัดซึ่งแปลเป็น 57.3 องศา แต่การเดินทางรอบวงกลมหนึ่งครั้ง (360 องศา) ถูกกำหนดเป็น 2π เรเดียน และด้วยเหตุผลที่คุณกำลังจะได้เห็น สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่าสะดวกในการแก้ปัญหาในบางกรณี

• ความสัมพันธ์π rad = 180 องศาสามารถใช้เพื่อแปลงระหว่างหน่วยวัดทั้งสองได้อย่างง่ายดาย

อาจมีปัญหาที่รวมถึงจำนวนรอบต่อหน่วยเวลา (รอบต่อนาทีหรือรอบต่อนาที) โปรดจำไว้ว่าการปฏิวัติแต่ละครั้งคือ2πเรเดียนหรือ 360 องศา

การวัดจลนศาสตร์การแปลหรือหน่วย ทั้งหมดมีแอนะล็อกแบบหมุน ตัวอย่างเช่น แทนที่จะใช้ความเร็วเชิงเส้นที่อธิบาย ตัวอย่างเช่น ลูกบอลหมุนเป็นเส้นตรงในช่วงเวลาที่กำหนด ลูกบอลการหมุนหรือความเร็วเชิงมุมอธิบายอัตราการหมุนของลูกบอลนั้น (หมุนเป็นเรเดียนหรือองศาต่อวินาที)

สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ที่นี่คือทุกหน่วยการแปลมีอะนาล็อกแบบหมุน การเรียนรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์และแนวความคิดเกี่ยวกับสิ่งที่ "เป็นพันธมิตร" นั้นต้องใช้การฝึกฝนเพียงเล็กน้อย แต่โดยส่วนใหญ่แล้ว มันเป็นเรื่องของการแทนที่อย่างง่าย

ความเร็วเชิงเส้นวีระบุทั้งขนาดและทิศทางของการแปลอนุภาค ความเร็วเชิงมุมω(อักษรกรีกโอเมก้า) แสดงถึงความเร็วเอกพจน์ ซึ่งเป็นความเร็วที่วัตถุหมุนเป็นเรเดียนต่อวินาที ในทำนองเดียวกัน อัตราการเปลี่ยนแปลงของω, ความเร่งเชิงมุม, ถูกกำหนดโดยα(อัลฟา) ใน rad/s².

ค่าของωและαจะเท่ากันทุกจุดบนวัตถุแข็งไม่ว่าจะวัดจากแกนหมุน 0.1 ม. หรือห่างออกไป 1,000 เมตร เพราะเป็นมุมที่เร็วเท่านั้นθการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญ

อย่างไรก็ตาม มีความเร็วและความเร่งในแนวสัมผัส (และเป็นเส้นตรง) ในสถานการณ์ส่วนใหญ่ที่เห็นปริมาณการหมุน ปริมาณสัมผัสคำนวณโดยการคูณปริมาณเชิงมุมด้วยr, ระยะทางจากแกนหมุน:วี_t​ = ​ωrและα​​_t​ = ​α​​ร.​

ตอนนี้การเปรียบเทียบการวัดระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนและการเคลื่อนที่เชิงเส้นได้ลดกำลังสองออกไปแล้วโดยใช้การนำพจน์เชิงมุมใหม่มาใช้ สิ่งเหล่านี้สามารถใช้เขียนค่า สมการจลนศาสตร์การแปลแบบคลาสสิกสี่แบบในแง่ของจลนศาสตร์การหมุนด้วยตัวแปรที่แตกต่างกันบ้าง (ตัวอักษรในสมการแทนค่าที่ไม่รู้จัก ปริมาณ)

มีสมการพื้นฐานสี่สมการและตัวแปรพื้นฐานสี่ตัวในการเล่นจลนศาสตร์: ตำแหน่ง (x​, ​yหรือθ) ความเร็ว (วีหรือω), อัตราเร่ง (หรือα) และเวลาt. สมการที่คุณเลือกขึ้นอยู่กับปริมาณที่ไม่รู้จักในการเริ่มต้น

​- [แทรกตารางสมการจลนศาสตร์เชิงเส้น/การแปลที่สอดคล้องกับแอนะล็อกการหมุนของพวกมัน]​

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณได้รับแจ้งว่าแขนกลเคลื่อนผ่านการกระจัดเชิงมุมของเรเดียน 3π/4 ด้วยความเร็วเชิงมุมเริ่มต้นω₀ที่ 0 rad/s และความเร็วเชิงมุมสุดท้ายωของ π rad/s การเคลื่อนไหวนี้ใช้เวลานานเท่าใด

แม้ว่าสมการการแปลทุกสมการจะมีอะนาล็อกแบบหมุน แต่การกลับกันกลับไม่เป็นจริงเพราะความเร่งสู่ศูนย์กลาง ซึ่งเป็นผลมาจากความเร็วในแนวดิ่งวี_tและชี้ไปที่แกนหมุน แม้ว่าความเร็วของอนุภาคที่โคจรรอบจุดศูนย์กลางมวลจะไม่มีการเปลี่ยนแปลง แต่สิ่งนี้แสดงถึงความเร่งเนื่องจากทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเปลี่ยนแปลงอยู่เสมอ

1. ไม้เรียวบางที่จัดว่าเป็นวัตถุแข็งที่มีความยาว 3 ม. หมุนรอบแกนประมาณปลายด้านหนึ่ง มันเร่งอย่างสม่ำเสมอจากส่วนที่เหลือถึง 3π rad/s² ในช่วงเวลา 10 วินาที

ก) ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยและความเร่งเชิงมุมในช่วงเวลานี้เป็นเท่าใด

เช่นเดียวกับความเร็วเชิงเส้น ก็แค่หาร (ω₀+​ ​ω) โดย 2 เพื่อให้ได้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย: (0 + 3π s^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​ส^-1​.

• เรเดียนเป็นหน่วยที่ไม่มีมิติ ดังนั้นในสมการจลนศาสตร์ ความเร็วเชิงมุมจึงแสดงเป็น s^-1.

ความเร่งเฉลี่ยถูกกำหนดโดยω=ω₀+ αt, หรือα= (3π ส^-1/10 วินาที) =0.3π ซ^-2​.

b) ก้านหมุนทำการหมุนได้กี่รอบ?

เนื่องจากความเร็วเฉลี่ยคือ 1.5π s^-1 และแกนหมุนเป็นเวลา 10 วินาที มันจะเคลื่อนที่ผ่านเรเดียนทั้งหมด 15π เนื่องจากหนึ่งรอบคือ 2π เรเดียน นี่หมายถึง (15π/2π) = 7.5 รอบ (เจ็ดการปฏิวัติที่สมบูรณ์) ในปัญหานี้

c) ความเร็วสัมผัสของปลายแท่ง ณ เวลา t = 10 s คืออะไร?

ตั้งแต่วี_t​ = ​ωr, และωที่เวลา t = 10 คือ 3π s^-1, ​วี_t= (3π ส^-1)(3 ม.) =9π เมตร/วินาที​

​ผมถูกกำหนดให้เป็นโมเมนต์ความเฉื่อย (เรียกอีกอย่างว่าช่วงเวลาที่สองของพื้นที่) ในการเคลื่อนที่แบบหมุน และคล้ายกับมวลเพื่อวัตถุประสงค์ในการคำนวณ ดังนั้นจึงปรากฏว่ามวลจะปรากฏในโลกแห่งการเคลื่อนที่เชิงเส้น ซึ่งอาจสำคัญที่สุดในการคำนวณโมเมนตัมเชิงมุมหลี่. นี่คือผลิตภัณฑ์ของผมและ​ω​,และเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับ​ω​.​

​ฉัน = นาย² สำหรับอนุภาคจุดแต่อย่างอื่นขึ้นอยู่กับรูปร่างของวัตถุที่ทำการหมุนเช่นเดียวกับแกนหมุน ดูแหล่งข้อมูลสำหรับรายการค่าของผมสำหรับรูปร่างทั่วไป

มวลแตกต่างกันเพราะปริมาณในจลนศาสตร์การหมุนที่เกี่ยวข้อง โมเมนต์ความเฉื่อย แท้จริงแล้วประกอบด้วยมวลเป็นส่วนประกอบ