ลูกตุ้มมีคุณสมบัติที่น่าสนใจที่นักฟิสิกส์ใช้เพื่ออธิบายวัตถุอื่นๆ ตัวอย่างเช่น วงโคจรของดาวเคราะห์มีรูปแบบคล้ายกัน และการแกว่งบนชุดแกว่งอาจรู้สึกเหมือนอยู่บนลูกตุ้ม คุณสมบัติเหล่านี้มาจากชุดของกฎหมายที่ควบคุมการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม เมื่อเรียนรู้กฎเหล่านี้ คุณจะเริ่มเข้าใจหลักพื้นฐานบางประการของฟิสิกส์และการเคลื่อนไหวโดยทั่วไป
การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสามารถอธิบายได้โดยใช้
\theta (t)=\theta_{max}\cos{\frac{2\pi t}{T}}
ซึ่งในθแทนมุมระหว่างเส้นเชือกกับเส้นแนวตั้งที่อยู่ตรงกลางtแทนเวลา และตู่คือ คาบ เวลาที่จำเป็นสำหรับการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มครบหนึ่งรอบที่จะเกิดขึ้น (วัดโดย1/f) ของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม
Simple Harmonic Motion
การเคลื่อนไหวฮาร์มอนิกอย่างง่ายหรือการเคลื่อนที่ที่อธิบายว่าความเร็วของวัตถุสั่นเป็นสัดส่วนกับปริมาณการกระจัดจากสภาวะสมดุลอย่างไร สามารถใช้อธิบายสมการของลูกตุ้มได้ การแกว่งของลูกตุ้มของลูกตุ้มยังคงเคลื่อนไหวโดยแรงนี้ที่กระทำกับมันในขณะที่มันเคลื่อนที่ไปมา
•••Syed Hussain Ather A
กฎหมายที่ควบคุมการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มนำไปสู่การค้นพบทรัพย์สินที่สำคัญ นักฟิสิกส์แบ่งกองกำลังออกเป็นองค์ประกอบแนวตั้งและแนวนอน ในการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม
แรงสามแรงทำงานโดยตรงกับลูกตุ้ม: มวลของบ๊อบ แรงโน้มถ่วง และความตึงในเชือก มวลและแรงโน้มถ่วงทั้งสองทำงานในแนวตั้งลง เนื่องจากลูกตุ้มไม่ขยับขึ้นหรือลง องค์ประกอบแนวตั้งของความตึงของเชือกจึงตัดมวลและแรงโน้มถ่วงออกนี่แสดงให้เห็นว่ามวลของลูกตุ้มไม่สัมพันธ์กับการเคลื่อนที่ของมัน แต่ความตึงของเส้นแนวนอนนั้นสัมพันธ์กัน การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายคล้ายกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม คุณสามารถอธิบายวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นเส้นทางวงกลมดังแสดงในรูปด้านบนโดยกำหนดมุมและรัศมีที่วัตถุเคลื่อนที่ในเส้นทางวงกลมที่สอดคล้องกัน จากนั้น ใช้ตรีโกณมิติของสามเหลี่ยมมุมฉากระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลม ตำแหน่งของวัตถุ และการกระจัดในทั้งสองทิศทาง x และ y คุณจะพบสมการx = อาร์ซิน (θ)และy = rcos (θ)
สมการหนึ่งมิติของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายถูกกำหนดโดยx = r cos (ωt)ทดแทนได้อาสำหรับrซึ่งในอาคือแอมพลิจูด, การกระจัดสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้นของวัตถุ
ความเร็วเชิงมุมωเกี่ยวกับเวลาtสำหรับมุมนี้θมอบให้โดยθ = ωt. ถ้าคุณแทนสมการที่เกี่ยวข้องกับความเร็วเชิงมุมกับความถี่ฉ, ω = 2πfคุณสามารถจินตนาการถึงการเคลื่อนที่แบบวงกลมนี้ จากนั้น ในส่วนของลูกตุ้มที่แกว่งไปมา จากนั้นสมการการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่ได้คือ
x=A\cos{2\pi ฟุต}
กฎของลูกตุ้มอย่างง่าย
•••Syed Hussain Ather A
ลูกตุ้มเหมือนฝูงบนสปริงเป็นตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มีแรงคืนตัวที่จะเพิ่มขึ้นตามการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม และสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มได้โดยใช้สมการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่าย
\theta (t)=\theta_{max}\cos{\frac{2\pi t}{T}}
ซึ่งในθแทนมุมระหว่างเส้นเชือกกับเส้นแนวตั้งที่อยู่ตรงกลางtหมายถึงเวลาและตู่คือระยะเวลา, เวลาที่จำเป็นสำหรับการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มครบหนึ่งรอบที่จะเกิดขึ้น (วัดโดย1/f) ของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม
θmaxเป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดค่าสูงสุดของมุมที่แกว่งไปมาระหว่างการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มและเป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดแอมพลิจูดของลูกตุ้ม ขั้นตอนนี้อธิบายไว้ด้านล่างในหัวข้อ "Simple Pendulum Definition"
อีกนัยหนึ่งของกฎของลูกตุ้มอย่างง่ายก็คือ คาบการสั่นที่มีความยาวคงที่ไม่ขึ้นกับขนาด รูปร่าง มวล และวัสดุของวัตถุที่ปลายเชือก สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนผ่านการกำเนิดลูกตุ้มอย่างง่ายและสมการที่ได้ผลลัพธ์
กำเนิดลูกตุ้มอย่างง่าย
คุณสามารถกำหนดสมการของ aลูกตุ้มง่ายคำจำกัดความที่ขึ้นอยู่กับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่าย จากชุดของขั้นตอนที่เริ่มต้นด้วยสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของลูกตุ้มเท่ากับแรงของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม คุณจึงตั้งค่าให้เท่ากันได้โดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตันกับมวลลูกตุ้มเอ็ม, ความยาวสายหลี่, มุมθ,ความเร่งโน้มถ่วงgและช่วงเวลาt.
•••Syed Hussain Ather A
คุณตั้งกฎข้อที่สองของนิวตันให้เท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยฉัน=นาย2สำหรับบางมวลมและรัศมีของการเคลื่อนที่เป็นวงกลม (ความยาวของเส้นเชือกในกรณีนี้)rคูณความเร่งเชิงมุมα.
- ΣF = หม่า: กฎข้อที่สองของนิวตันระบุว่าแรงสุทธิΣFบนวัตถุมีค่าเท่ากับมวลของวัตถุคูณด้วยความเร่ง
- หม่า = ฉัน α: ให้คุณตั้งค่าแรงเร่งโน้มถ่วง (-Mg บาป (θ)L)เท่ากับแรงหมุน
- -Mg บาป (θ)L = ฉัน α: คุณสามารถหาทิศทางของแรงแนวตั้งได้เนื่องจากแรงโน้มถ่วง (-Mg) โดยคำนวณความเร่งเป็นบาป (θ)Lถ้าบาป (θ) = d/Lสำหรับการกระจัดในแนวนอนบางส่วนdและมุมθ เพื่อเป็นแนวทาง
- -Mg บาป (θ)L = ML2 α: คุณแทนสมการสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุหมุนโดยใช้ความยาวสตริง L เป็นรัศมี
- -Mg บาป (θ)L = -ML2d2θ/dt: คำนวณความเร่งเชิงมุมโดยแทนอนุพันธ์อันดับสองของมุมเทียบกับเวลาสำหรับα.ขั้นตอนนี้ต้องใช้แคลคูลัสและสมการเชิงอนุพันธ์
- d2θ/dt2 + (g/L) บาปθ = 0: หาได้จากการจัดเรียงสมการทั้งสองข้างใหม่
- d2θ/dt2 + (g/L)θ = 0: คุณสามารถประมาณบาป (θ)เช่นθเพื่อจุดประสงค์ของลูกตุ้มอย่างง่ายที่มุมการแกว่งน้อยมาก
- θ(t) = θmaxcos (t (ลิตร/กรัม)2): สมการการเคลื่อนที่มีคำตอบนี้ คุณสามารถตรวจสอบได้โดยการหาอนุพันธ์อันดับสองของสมการนี้และหาขั้นตอนที่ 7
มีวิธีอื่นๆ ในการสร้างอนุพันธ์ลูกตุ้มอย่างง่าย ทำความเข้าใจความหมายเบื้องหลังแต่ละขั้นตอนเพื่อดูว่ามีความเกี่ยวข้องกันอย่างไร คุณสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่ายโดยใช้ทฤษฎีเหล่านี้ แต่คุณควรคำนึงถึงปัจจัยอื่นๆ ที่อาจส่งผลต่อทฤษฎีลูกตุ้มอย่างง่ายด้วย
ปัจจัยที่มีผลต่อการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม
ถ้าคุณเปรียบเทียบผลลัพธ์ของอนุพันธ์นี้
\theta (t)=\theta_{max}\cos{t\bigg(\frac{L}{g}\bigg)^2}
สู่สมการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่ายขy ตั้งค่าให้เท่ากัน คุณสามารถหาสมการสำหรับช่วงเวลา T:
T=2\pi\sqrt{\frac{g}{L}}
สังเกตว่าสมการนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลเอ็มของลูกตุ้ม แอมพลิจูดθmaxและไม่ตรงเวลาt. นั่นหมายถึงคาบนั้นไม่ขึ้นกับมวล แอมพลิจูด และเวลา แต่อาศัยความยาวของสตริงแทน ช่วยให้คุณแสดงการเคลื่อนไหวของลูกตุ้มได้กระชับ
ความยาวของตัวอย่างลูกตุ้ม
ด้วยสมการสำหรับช่วงเวลา คุณสามารถจัดเรียงสมการใหม่เพื่อให้ได้
L=\frac{(T/2\pi)^2}{g}
และแทนที่ 1 วินาทีสำหรับตู่และ9.8 ม./วินาที2สำหรับgที่จะได้รับล =0.0025 ม. โปรดจำไว้ว่าสมการของทฤษฎีลูกตุ้มอย่างง่ายเหล่านี้ถือว่าความยาวของสตริงนั้นไม่มีแรงเสียดทานและไม่มีมวล การพิจารณาปัจจัยเหล่านั้นจะต้องใช้สมการที่ซับซ้อนกว่านี้
นิยามลูกตุ้มอย่างง่าย
คุณสามารถดึงมุมกลับของลูกตุ้มได้θเพื่อให้มันแกว่งไปมาเพื่อให้เห็นมันสั่นเหมือนสปริง สำหรับลูกตุ้มอย่างง่าย คุณสามารถอธิบายมันได้โดยใช้สมการการเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์อย่างง่าย สมการการเคลื่อนที่ทำงานได้ดีสำหรับค่ามุมที่น้อยกว่าและแอมพลิจูดมุมสูงสุดเพราะแบบจำลองลูกตุ้มอย่างง่ายอาศัยการประมาณที่บาป (θ) ≈ θสำหรับมุมลูกตุ้มบางส่วนθ.เนื่องจากมุมของค่าและแอมพลิจูดมากกว่า 20 องศา การประมาณนี้ก็ใช้ไม่ได้เช่นกัน
ลองด้วยตัวคุณเอง ลูกตุ้มแกว่งด้วยมุมเริ่มต้นขนาดใหญ่θจะไม่สั่นเหมือนปกติเพื่อให้คุณสามารถใช้ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์อย่างง่ายในการอธิบายได้ ในมุมเริ่มต้นที่เล็กกว่าθ, ลูกตุ้มเข้าใกล้การเคลื่อนที่แบบปกติและสั่นง่ายกว่ามาก เนื่องจากมวลของลูกตุ้มไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ นักฟิสิกส์จึงได้พิสูจน์ว่าลูกตุ้มทั้งหมดมีคาบการสั่นเท่ากัน มุม - มุมระหว่างจุดศูนย์กลางของลูกตุ้มที่จุดสูงสุดกับจุดศูนย์กลางของลูกตุ้มที่ตำแหน่งหยุด - น้อยกว่า 20 องศา
สำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติทั้งหมดของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม ลูกตุ้มจะชะลอตัวลงในที่สุดและหยุดลงเนื่องจาก การเสียดสีระหว่างเชือกกับจุดยึดด้านบน และเนื่องจากแรงต้านของอากาศระหว่างลูกตุ้มกับอากาศ รอบ ๆ มัน.
สำหรับตัวอย่างเชิงปฏิบัติของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม คาบและความเร็วจะขึ้นอยู่กับประเภทของวัสดุที่ใช้ซึ่งจะทำให้ตัวอย่างเหล่านี้เกิดการเสียดสีและแรงต้านของอากาศ หากคุณคำนวณพฤติกรรมการแกว่งของลูกตุ้มตามทฤษฎีโดยไม่ต้องคำนึงถึงแรงเหล่านี้ ก็จะพิจารณาการแกว่งของลูกตุ้มอย่างไม่สิ้นสุด
กฎของนิวตันในลูกตุ้ม
กฎข้อแรกของนิวตันกำหนดความเร็วของวัตถุเพื่อตอบสนองต่อแรง กฎหมายระบุว่าหากวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่กำหนดและเป็นเส้นตรง วัตถุนั้นก็จะเคลื่อนที่ต่อไปด้วยความเร็วนั้นและเป็นเส้นตรงไม่จำกัด ตราบใดที่ไม่มีแรงอื่นมากระทำกับวัตถุ ลองนึกภาพการขว้างลูกบอลตรงไปข้างหน้า – ลูกบอลจะเคลื่อนที่ไปทั่วโลกซ้ำแล้วซ้ำเล่าหากแรงต้านและแรงโน้มถ่วงของอากาศไม่กระทำต่อมัน กฎข้อนี้แสดงให้เห็นว่าเนื่องจากลูกตุ้มเคลื่อนที่ไปทางด้านข้างและไม่ขึ้นและลงจึงไม่มีแรงขึ้นและลงกระทำกับมัน
กฎข้อที่สองของนิวตันใช้ในการกำหนดแรงสุทธิบนลูกตุ้มโดยกำหนดแรงโน้มถ่วงให้เท่ากับแรงของเชือกที่ดึงกลับขึ้นไปบนลูกตุ้ม การตั้งสมการเหล่านี้ให้เท่ากันจะช่วยให้คุณได้สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม
กฎข้อที่สามของนิวตันระบุว่าทุกการกระทำมีปฏิกิริยาของแรงเท่ากัน กฎข้อนี้ใช้ได้กับกฎข้อแรกซึ่งแสดงให้เห็นว่าแม้ว่ามวลและความโน้มถ่วงจะตัดองค์ประกอบแนวตั้งของเวกเตอร์ความตึงเชือกออก แต่ไม่มีสิ่งใดที่ยกเลิกองค์ประกอบแนวนอนได้ กฎข้อนี้แสดงให้เห็นว่าแรงที่กระทำต่อลูกตุ้มสามารถหักล้างซึ่งกันและกันได้
นักฟิสิกส์ใช้กฎข้อที่หนึ่ง ที่สอง และสามของนิวตันเพื่อพิสูจน์ความตึงของเส้นเอ็นแนวนอนเคลื่อนลูกตุ้มโดยไม่คำนึงถึงมวลหรือแรงโน้มถ่วง กฎของลูกตุ้มธรรมดาเป็นไปตามแนวคิดของกฎการเคลื่อนที่สามข้อของนิวตัน