Kaströrelsehänvisar till rörelsen hos en partikel som förmedlas med en initialhastighet men som sedan utsätts för inga krafter förutom den av tyngdkraften.
Detta inkluderar problem där en partikel kastas i en vinkel mellan 0 och 90 grader mot det horisontella, varvid det horisontella vanligtvis är marken. För enkelhets skull antas dessa projektiler färdas i (x, y) plan, medxrepresenterar horisontell förskjutning ochyvertikal förskjutning.
Banan som tas av en projektil kallas dessbana. (Observera att den gemensamma länken i "projektil" och "bana" är stavelsen "-ject", "det latinska ordet för" throw. "Att mata ut någon är bokstavligen att kasta ut honom.) Projektilens utgångspunkt i problem där du behöver beräkna banan antas vanligtvis vara (0, 0) för enkelhetens skull om inte annat anges.
Banan för en projektil är en parabel (eller åtminstone spårar en del av en parabel) om partikeln skjuts upp på ett sådant sätt som har en icke-noll horisontell rörelsekomponent, och det finns inget luftmotstånd som påverkar partikel.
De kinematiska ekvationerna
Variablerna av intresse för en partikels rörelse är dess positionskoordinaterxochy, dess hastighetvoch dess accelerationa, allt i förhållande till en given förfluten tidtsedan problemets början (när partikeln lanseras eller släpps). Observera att utelämnande av massa (m) innebär att gravitationen på jorden verkar oberoende av denna mängd.
Observera också att dessa ekvationer ignorerar luftmotståndets roll, vilket skapar en motståndskraft mot rörelse i verkliga jordsituationer. Denna faktor introduceras i högre nivå mekanik kurser.
Variabler som får ett prenumeration "0" hänvisar till värdet på den kvantiteten vid tident= 0 och är konstanter; ofta är detta värde 0 tack vare det valda koordinatsystemet och ekvationen blir så mycket enklare. Acceleration behandlas som konstant i dessa problem (och är i y-riktningen och lika med -g,eller–9,8 m / s2, accelerationen på grund av gravitationen nära jordens yta).
Horisontell rörelse:
x = x_0 + v_xt
- Termen
vxär den konstanta x-hastigheten.
Vertikal rörelse:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Exempel på projektilrörelse
Nyckeln till att kunna lösa problem som inkluderar banberäkningar är att veta att de horisontella (x) och vertikala (y) komponenterna i rörelse kan analyseras separat, som visas ovan, och deras respektive bidrag till den totala rörelsen sammanfattas snyggt i slutet av programmet problem.
Projektilrörelseproblem räknas som problem med fritt fall eftersom, oavsett hur saker ser ut direkt efter tident= 0, den enda kraft som verkar på det rörliga objektet är tyngdkraften.
- Var medveten om att eftersom tyngdkraften verkar nedåt, och detta anses vara den negativa y-riktningen, är accelerationsvärdet -g i dessa ekvationer och problem.
Banberäkningar
1. De snabbaste kannorna i baseboll kan kasta en boll på drygt 100 miles i timmen, eller 45 m / s. Om en boll kastas vertikalt uppåt i denna hastighet, hur hög blir den och hur lång tid tar det att återvända till den punkt där den släpptes?
Härvy0= 45 m / s, -g= –9,8 m / s, och mängden intresse är den ultimata höjden, ellery,och den totala tiden tillbaka till jorden. Total tid är en tvådelad beräkning: tid upp till y och tid tillbaka ner till y0 = 0. För den första delen av problemet,vy,när bollen når sin topphöjd, är 0.
Börja med att använda ekvationenvy2= v0y2 - 2g (y - y0)och koppla in de värden du har:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9.8) (y - 0) = 2025 - 19.6y \ innebär y = 103.3 \ text {m}
Ekvationenvy = v0y - gtvisar att tiden t detta tar är (45 / 9,8) = 4,6 sekunder. För att få total tid, lägg detta värde till den tid det tar för bollen att falla fritt till sin startpunkt. Detta ges avy = y0 + v0yt - (1/2) gt2, där nu, eftersom bollen fortfarande är i ögonblicket innan den börjar stupa,v0y = 0.
Lösning:
103,3 = (1/2) gt ^ 2 \ innebär t = 4,59 \ text {s}
Således är den totala tiden 4,59 + 4,59 = 9,18 sekunder. Det kanske förvånande resultatet att varje "ben" på resan, upp och ner, tog samma tid understryker det faktum att tyngdkraften är den enda kraften som spelas här.
2. Räckviddsekvationen:När en projektil skjuts upp med en hastighetv0och en vinkel θ från det horisontella, den har initiala horisontella och vertikala hastighetskomponenterv0x = v0(cos θ) ochv0y = v0(synd θ).
Därför attvy = v0y - gtochvy = 0 när projektilen når sin maximala höjd, ges tiden till maximal höjd av t =v0y/g. På grund av symmetri tar tiden det tar att återvända till marken (eller y = y0) är helt enkelt 2t = 2v0y/g.
Slutligen, kombinera dessa med förhållandet x =v0xt är det horisontella sträcka som givits med tanke på en startvinkel θ
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(Det sista steget kommer från den trigonometriska identiteten 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Eftersom sin2θ är vid sitt maximala värde på 1 när θ = 45 grader maximerar användningen av denna vinkel det horisontella avståndet för en given hastighet vid
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}