Ibland är "exponentiell tillväxt" bara en talesätt, en hänvisning till allt som växer orimligt eller otroligt snabbt. Men i vissa fall kan du ta tanken på exponentiell tillväxt bokstavligen. Till exempel kan en population av kaniner växa exponentiellt när varje generation sprider sig, sedan sprider deras avkommor och så vidare. Företags- eller personinkomster kan också växa exponentiellt. När du uppmanas att göra verkliga beräkningar av exponentiell tillväxt kommer du att arbeta med tre uppgifter: Startvärde, tillväxttakt (eller förfall) och tid.
TL; DR (för lång; Läste inte)
TL; DR (för lång; Läste inte)
Använd formeln för att beräkna exponentiell tillväxt y(t) = a__ekt, var a är värdet i början, k är tillväxttakten eller förfallet, t är tid och y(t) är befolkningens värde vid tidpunkten t.
Tänk dig att en forskare studerar tillväxten av en ny bakterieart. Medan han kunde mata in värdena för startkvantitet, tillväxttakt och tid i en befolkningstillväxträknare, bestämde han sig för att beräkna bakteriepopulationens tillväxttakt manuellt.
När han ser tillbaka på sina noggranna register ser forskaren att hans startpopulation var 50 bakterier. Fem timmar senare mätte han 550 bakterier.
Införande av forskarens information i ekvationen för exponentiell tillväxt eller förfall, y(t) = a__ekt, han har:
550 = 50_ek_5
Det enda okända kvar i ekvationen är k, eller exponentiell tillväxttakt.
Att börja lösa för k, dela först båda sidor av ekvationen med 50. Detta ger dig:
550/50 = (50_ek_5) / 50, vilket förenklar att:
11 = e_k_5
Ta sedan den naturliga logaritmen från båda sidor, som är noterad som ln (x). Detta ger dig:
ln (11) = ln (e_k_5)
Den naturliga logaritmen är den omvända funktionen av ex, så det "ångrar" effektivt ex funktion på höger sida av ekvationen och lämnar dig med:
ln (11) = _k_5
Därefter delar du båda sidor med 5 för att isolera variabeln, vilket ger dig:
k = ln (11) / 5
Du vet nu graden av exponentiell tillväxt för denna population av bakterier: k = ln (11) / 5. Om du ska göra ytterligare beräkningar med denna population - till exempel att koppla tillväxttakten i ekvationen och uppskatta befolkningsstorleken vid t = 10 timmar - det är bäst att lämna svaret i det här formuläret. Men om du inte utför ytterligare beräkningar kan du mata in det värdet i en exponentiell funktionsräknare - eller din vetenskapliga miniräknare - för att få ett uppskattat värde på 0,479579. Beroende på de exakta parametrarna i ditt experiment kan du avrunda det till 0,48 / timme för att underlätta beräkning eller notering.
Tips
Om din tillväxttakt skulle vara mindre än 1 berättar den att befolkningen krymper. Detta kallas förfallet eller exponentiellt förfall.