Låt oss säga att du har en funktion, y = f (x), där y är en funktion av x. Det spelar ingen roll vad det specifika förhållandet är. Det kan till exempel vara y = x ^ 2, en enkel och bekant parabel som går genom ursprunget. Det kan vara y = x ^ 2 + 1, en parabel med identisk form och en topp en enhet ovanför ursprunget. Det kan vara en mer komplex funktion, såsom y = x ^ 3. Oavsett vad funktionen är, är en rak linje som passerar genom två punkter på kurvan en sekant linje.
Ta x- och y-värdena för två punkter som du vet är kurvan. Poäng ges som (x-värde, y-värde), så punkten (0, 1) betyder den punkt på det kartesiska planet där x = 0 och y = 1. Kurvan y = x ^ 2 + 1 innehåller punkten (0, 1). Den innehåller också punkten (2, 5). Du kan bekräfta detta genom att ansluta varje par värden för x och y till ekvationen och se till att ekvationen balanserar båda gångerna: 1 = 0 + 1, 5 = 2 ^ 2 + 1. Både (0, 1) och (2, 5) är punkter i kurvan y = x ^ 2 +1. En rak linje mellan dem är en sekant och båda (0, 1) och (2, 5) kommer också att vara en del av denna raka linje.
Bestäm ekvationen för den raka linjen som passerar genom båda dessa punkter genom att välja värden som uppfyller ekvationen y = mx + b - den allmänna ekvationen för vilken rät linje som helst - för båda punkterna. Du vet redan att y = 1 när x är 0. Det betyder 1 = 0 + b. Så b måste vara lika med 1.
Ersätt värdena för x och y vid den andra punkten i ekvationen y = mx + b. Du vet y = 5 när x = 2 och du vet b = 1. Det ger dig 5 = m (2) + 1. Så m måste vara lika med 2. Nu vet du både m och b. Sekantlinjen mellan (0, 1) och (2, 5) är y = 2x + 1
Välj ett annat par punkter på din kurva så kan du bestämma en ny secant-linje. På samma kurva, y = x ^ 2 + 1, kan du ta punkten (0, 1) som du gjorde tidigare, men den här gången väljer du (1, 2) som den andra punkten. Sätt (1, 2) i ekvationen för kurvan och du får 2 = 1 ^ 2 + 1, vilket uppenbarligen är korrekt, så du vet (1, 2) är också på samma kurva. Sekantlinjen mellan dessa två punkter är y = mx + b: Om du sätter 0 och 1 för x och y får du: 1 = m (0) + b, så b är fortfarande lika med en. Att ansluta värdet för den nya punkten, (1, 2) ger dig 2 = mx + 1, vilket balanserar om m är lika med 1. Ekvationen för sekantlinjen mellan (0, 1) och (1, 2) är y = x + 1.
Referenser
- University of California, Santa Barbara: Secant Lines, Tangent Lines och Limit Definition of a Derivative.
- Wolfram Math World: Secant Line
Tips
- Observera att sekantlinjen ändras när du väljer en andra punkt närmare den första punkten. Du kan alltid välja en punkt på kurvan närmare än du gjorde tidigare och få en ny sekantlinje. När din andra punkt kommer närmare och närmare din första punkt närmar sig den secant linjen mellan de två tangenten till kurvan vid den första punkten.
Om författaren
Andrew Breslin har skrivit professionellt sedan 1994. Hans artiklar och op-ed verk har dykt upp i "South Florida Sun Sentinel", "St Paul Pioneer Press", "Detroit Free Press", "Charlotte Observer," "Good Medicine" och andra. Han studerade molekylärbiologi vid Westchester University och skriver ofta om naturvetenskap och matematik.
Fotokrediter
Jupiterimages / Photos.com / Getty Images