I en geometrisk sekvens är varje term lika med föregående term gånger en konstant, icke-noll multiplikator som kallas den gemensamma faktorn. Geometriska sekvenser kan ha ett fast antal termer, eller de kan vara oändliga. I båda fallen kan termerna för en geometrisk sekvens snabbt bli mycket stora, mycket negativa eller mycket nära noll. Jämfört med aritmetiska sekvenser ändras termerna mycket snabbare, men samtidigt oändlig aritmetik sekvenser ökar eller minskar stadigt, geometriska sekvenser kan närma sig noll, beroende på det vanliga faktor.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En geometrisk sekvens är en ordnad lista med siffror där varje term är produkten av föregående term och en fast, icke-noll multiplikator som kallas den gemensamma faktorn. Varje term i en geometrisk sekvens är det geometriska medelvärdet av termerna som föregår och följer den. Oändliga geometriska sekvenser med en gemensam faktor mellan +1 och −1 närmar sig gränsen på noll som termer läggs till medan sekvenser med en gemensam faktor större än +1 eller mindre än −1 går till plus eller minus oändlighet.
Hur geometriska sekvenser fungerar
En geometrisk sekvens definieras av dess startnummera, den gemensamma faktornroch antalet termerS. Motsvarande generell form av en geometrisk sekvens är:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Den allmänna formeln för termnav en geometrisk sekvens (dvs. vilken term som helst inom den sekvensen) är:
a_n = ar ^ {n-1}
Den rekursiva formeln, som definierar en term med avseende på föregående term, är:
a_n = ra_ {n-1}
Ett exempel på en geometrisk sekvens med startnummer 3, gemensam faktor 2 och åtta termer är 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Beräkning av den sista termen med den allmänna form som anges ovan är termen:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Med den allmänna formeln för term 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Om du vill använda den rekursiva formeln för term 5, är term 4 = 24 och a5 är lika med:
a_5 = 2 × 24 = 48
Egenskaper för geometrisk sekvens
Geometriska sekvenser har speciella egenskaper vad gäller det geometriska medelvärdet. Det geometriska medelvärdet av två tal är kvadratroten av deras produkt. Till exempel är det geometriska medelvärdet 5 och 20 10 eftersom produkten 5 × 20 = 100 och kvadratroten på 100 är 10.
I geometriska sekvenser är varje term det geometriska medelvärdet av termen före den och termen efter den. Till exempel i sekvensen 3, 6, 12... ovan är 6 det geometriska medelvärdet för 3 och 12, 12 är det geometriska medelvärdet för 6 och 24 och 24 är det geometriska medelvärdet för 12 och 48.
Andra egenskaper hos geometriska sekvenser beror på den gemensamma faktorn. Om den gemensamma faktornrär större än 1 kommer oändliga geometriska sekvenser att närma sig positiv oändlighet. Omrär mellan 0 och 1 kommer sekvenserna att närma sig noll. Omrär mellan noll och −1 kommer sekvenserna att närma sig noll, men termerna växlar mellan positiva och negativa värden. Omrär mindre än −1, kommer termerna att trenda mot både positiv och negativ oändlighet när de växlar mellan positiva och negativa värden.
Geometriska sekvenser och deras egenskaper är särskilt användbara i vetenskapliga och matematiska modeller av verkliga processer. Användningen av specifika sekvenser kan hjälpa till med studier av populationer som växer i fast takt över givna tidsperioder eller investeringar som tjänar ränta. De allmänna och rekursiva formlerna gör det möjligt att förutsäga korrekta värden i framtiden baserat på utgångspunkten och den gemensamma faktorn.