Algebra markerar det första sanna konceptuella språnget som eleverna måste göra i matematikvärlden och lär sig att manipulera variabler och arbeta med ekvationer. När du börjar arbeta med ekvationer kommer du att stöta på några vanliga utmaningar, inklusive exponenter, bråk och flera variabler. Alla dessa kan hanteras med hjälp av några grundläggande strategier.
Grundstrategin för algebraiska ekvationer
Den grundläggande strategin för att lösa en algebraisk ekvation är att först isolera den variabla termen på ena sidan av ekvationen, och använd sedan inversa operationer vid behov för att ta bort koefficienter eller exponenter. En omvänd operation "ångrar" en annan operation; till exempel "ångrar" division multipliceringen av en koefficient, och kvadratrötter "ångrar" kvadreringsoperationen för en andra-kraft-exponent.
Observera att om du använder en operation på ena sidan av en ekvation, måste du använda samma operation på den andra sidan av ekvationen. Genom att upprätthålla denna regel kan du ändra hur villkoren för en ekvation skrivs utan att ändra deras relation till varandra.
Lösa ekvationer med exponenter
De typer av ekvationer med exponenter som du kommer att stöta på under din algebra resa kan enkelt fylla en hel bok. För närvarande fokusera på att behärska de mest grundläggande exponentekvationerna, där du har en enda variabel term med en exponent. Till exempel:
y ^ 2 + 3 = 19
Subtrahera 3 från båda sidor av ekvationen och lämna den variabla termen isolerad på ena sidan:
y ^ 2 = 16
Ta bort exponenten från variabeln genom att tillämpa en radikal med samma index. Kom ihåg att du måste göra detta mot båda sidor av ekvationen. I det här fallet betyder det att man tar kvadratroten på båda sidor:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Vilket förenklar till:
y = 4
Lösa ekvationer med bråk
Vad händer om din ekvation innebär en bråkdel? Tänk på exemplet med
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Om du fördelar fraktionen 3/4 över (x+ 7), saker kan bli rörigt snabbt. Här är en mycket enklare strategi.
Multiplicera båda sidor av ekvationen med bråkens nämnare. I det här fallet betyder det att multiplicera båda sidor av fraktionen med 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Förenkla båda sidor av ekvationen. Detta fungerar för att:
3 (x + 7) = 24
Du kan förenkla igen, vilket resulterar i:
3x + 21 = 24
Subtrahera 21 från båda sidor, isolera den variabla termen på ena sidan av ekvationen:
3x = 3
Slutligen delar du båda sidor av ekvationen med 3 för att lösax:
x = 1
Lösa en ekvation med två variabler
Om du harettekvation med två variabler kommer du troligen att bli ombedd att lösa bara en av dessa variabler. I så fall följer du ungefär samma procedur som du skulle använda för alla algebraiska ekvationer med en variabel. Tänk på exemplet
5x + 4 = 2y
om du blir ombedd att lösax.
Subtrahera 3 från varje sida av ekvationen och lämnaxterm av sig själv på ena sidan av lika tecken:
5x = 2y - 4
Dela båda sidor av ekvationen med 5 för att ta bort koefficienten frånxtermin:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Om du inte får någon annan information är det så långt du kan ta beräkningarna.
Lösa två ekvationer med två variabler
Om du får ett system (eller grupp) avtvåekvationer som har samma två variabler, betyder det vanligtvis att ekvationerna är relaterade - och du kan använda en teknik som kallas substitution för att hitta värden för båda variablerna. Tänk på ekvationen från det sista exemplet, plus en andra relaterad ekvation som använder samma variabler:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Välj en ekvation och lös den ekvationen för en av variablerna. I det här fallet använder du det du redan vet om den första ekvationen från föregående exempel, som du redan har löst förx:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Ersätt resultatet från steg 1 i den andra ekvationen. Med andra ord, ersätt värdet (2y- 4) / 5 för alla fall avxi den andra ekvationen. Detta ger dig en ekvation med bara en variabel:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Förenkla ekvationen från steg 2 och lösa den återstående variabeln, som i detta fall äry.
Börja med att multiplicera båda sidor med 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Detta förenklar för att:
2y - 4 + 15y = 115
Efter att ha kombinerat lika termer förenklas detta ytterligare till:
17y = 119
Och slutligen, efter att ha delat båda sidor med 17, har du:
y = 7
Ersätt värdet från steg 3 i ekvationen från steg 1. Detta ger dig:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Vilket förenklar att avslöja värdet avx:
x = 2
Så lösningen för detta ekvationssystem ärx= 2 ochy = 7.