I matematiken uppstår ibland behovet av att bevisa om funktioner är beroende eller oberoende av varandra i linjär mening. Om du har två funktioner som är linjära beroende, resulterar grafiska ekvationer för dessa funktioner i punkter som överlappar varandra. Funktioner med oberoende ekvationer överlappar inte när de ritas. En metod för att bestämma om funktioner är beroende eller oberoende är att beräkna Wronskian för funktionerna.
Vad är en Wronskian?
Wronskian av två eller flera funktioner är det som kallas en determinant, vilket är en speciell funktion som används för att jämföra matematiska objekt och bevisa vissa fakta om dem. I fallet med Wronskian används determinanten för att bevisa beroende eller oberoende bland två eller flera linjära funktioner.
Wronskian Matrix
För att beräkna Wronskian för linjära funktioner måste funktionerna lösas för samma värde i en matris som innehåller både funktionerna och deras derivat. Ett exempel på detta är
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
som ger Wronskian två funktioner (fochg) som löses för ett enda värde som är större än noll (t); du kan se de två funktionernaf(t) ochg(t) i den översta raden i matrisen och derivatenf'(t) ochg'(t) i nedre raden. Observera att Wronskian också kan användas för större uppsättningar. Om du till exempel testar tre funktioner med en Wronskian, kan du fylla i en matris med funktionerna och derivaten avf(t), g(t) ochh(t).
Lösa Wronskian
När du väl har funktionerna ordnade i en matris, kors multiplicera varje funktion mot derivatet av den andra funktionen och subtrahera det första värdet från den andra. För exemplet ovan ger detta dig
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Om det slutliga svaret är lika med noll, visar detta att de två funktionerna är beroende. Om svaret är något annat än noll är funktionerna oberoende.
Wronskian Exempel
För att ge dig en bättre uppfattning om hur detta fungerar antar du det
f (t) = x + 3 \ text {och} g (t) = x - 2
Använda ett värde påt= 1, du kan lösa funktionerna som
f (1) = 4 \ text {och} g (1) = -1
Eftersom dessa är grundläggande linjära funktioner med en lutning på 1, är derivaten av bådaf(t) ochg(t) lika med 1. Cross-multiplicera dina värden ger till
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
vilket ger ett slutresultat på 5. Även om de linjära funktionerna båda har samma lutning är de oberoende eftersom de inte överlappar varandra. Omf(t) hade producerat ett resultat av −1 istället för 4, skulle Wronskian ha gett ett resultat av noll istället för att indikera beroende.