3 Metoder för lösning av ekvationssystem

De tre metoderna som oftast används för att lösa ekvationssystem är substitution, eliminering och förstärkta matriser. Substitution och eliminering är enkla metoder som effektivt kan lösa de flesta system med två ekvationer i några enkla steg. Metoden för förstärkta matriser kräver fler steg, men dess tillämpning sträcker sig till ett större antal system.

Substitution är en metod för att lösa ekvationssystem genom att ta bort alla variablerna utom en i ekvationerna och sedan lösa den ekvationen. Detta uppnås genom att isolera den andra variabeln i en ekvation och sedan ersätta värdena för dessa variabler i annan annan ekvation. För att till exempel lösa ekvationssystemet x + y = 4, 2x - 3y = 3, isolera variabeln x i den första ekvation för att få x = 4 - y, ersätt sedan detta värde av y i den andra ekvationen för att få 2 (4 - y) - 3y = 3. Denna ekvation förenklar till -5y = -5, eller y = 1. Anslut detta värde till den andra ekvationen för att hitta värdet x: x + 1 = 4 eller x = 3.

Eliminering är ett annat sätt att lösa ekvationssystem genom att skriva om en av ekvationerna i termer av endast en variabel. Elimineringsmetoden uppnår detta genom att addera eller subtrahera ekvationer från varandra för att ta bort en av variablerna. Om du till exempel lägger till ekvationerna x + 2y = 3 och 2x - 2y = 3 får du en ny ekvation, 3x = 6 (notera att y-termerna annulleras). Systemet löses sedan med samma metoder som för substitution. Om det är omöjligt att ta bort variablerna i ekvationerna kommer det att bli nödvändigt att multiplicera hela ekvationen med en faktor för att få koefficienterna att matcha.

Förstärkta matriser kan också användas för att lösa ekvationssystem. Den förstärkta matrisen består av rader för varje ekvation, kolumner för varje variabel och en förstärkt kolumn som innehåller den konstanta termen på andra sidan ekvationen. Till exempel är den förstärkta matrisen för ekvationssystemet 2x + y = 4, 2x - y = 0 [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Nästa steg handlar om att använda elementära radoperationer som att multiplicera eller dela en rad med en annan konstant än noll och lägga till eller subtrahera rader. Målet med dessa operationer är att konvertera matrisen till rad-echelonform, där den första posten som inte är noll i varje rad är 1, poster ovanför och under denna post finns alla nollor, och den första posten som inte är noll för varje rad är alltid till höger om alla sådana poster i raderna ovanför det. Rad-echelonform för ovanstående matris är [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Värdet på den första variabeln ges av den första raden (1x + 0y = 1 eller x = 1). Värdet på den andra variabeln ges av den andra raden (0x + 1y = 2 eller y = 2).

Substitution och eliminering är enklare metoder för att lösa ekvationer och används mycket oftare än förstärkta matriser i grundalgebra. Substitutionsmetoden är särskilt användbar när en av variablerna redan är isolerad i en av ekvationerna. Elimineringsmetoden är användbar när koefficienten för en av variablerna är densamma (eller dess negativa ekvivalent) i alla ekvationer. Den främsta fördelen med förstärkta matriser är att den kan användas för att lösa system med tre eller flera ekvationer i situationer där substitution och eliminering antingen är omöjlig eller omöjlig.