Vad är skillnaden mellan en direkt och en omvänd relation?

Att förstå relationerna mellan två variabler är målet för det mesta av vetenskapen. Oavsett om du har en specifik vetenskaplig fråga i åtanke som: Vad händer med den globala temperaturen om mängden koldioxid i atmosfären ökar, eller hur varierar tyngdkraften när du rör dig längre bort från källan, eller om du är mer intresserad av en abstrakt matematisk inställning, det är viktigt att ta reda på skillnaden mellan direkta och inversa förhållanden om du vill beskriva dessa relationer. Kort sagt, direkta förhållanden ökar eller minskar tillsammans, men omvända förhållanden rör sig i motsatta riktningar.

TL; DR (för lång; Läste inte)

I ett direkt förhållande leder en ökning av den ena kvantiteten till en motsvarande minskning av den andra. Detta har den matematiska formeln y = kx, var k är en konstant. För en cirkel är omkrets = pi × diameter, vilket är ett direkt förhållande med pi som en konstant. En större diameter betyder en större omkrets.

I ett omvänt förhållande leder en ökning av den ena kvantiteten till en motsvarande minskning av den andra. Matematiskt uttrycks detta som

Forskare och matematiker som hanterar direkta och omvända förhållanden svarar på den allmänna frågan, hur gör det y varierar med x? Här, x och y stå för två variabler som i princip kan vara vad som helst. Till exempel, hur springer höjden som en boll studsar (y) beror på hur hög den tappas från (x)? Konventionellt, x är den oberoende variabeln och y är den beroende variabeln. Så värdet av y beror på värdet av x, inte tvärtom, och matematikern har viss kontroll över x (till exempel kan hon välja höjden för att släppa bollen). När det finns ett direkt eller omvänd förhållande, x och y är proportionella mot varandra på något sätt.

Ett direkt förhållande är proportionellt i den meningen att när en variabel ökar, så gör den andra också. Med hjälp av exemplet från det sista avsnittet, ju högre du släpper en boll, desto högre studsar den upp igen. En cirkel med större diameter har större omkrets. Om du ökar den oberoende variabeln (x, såsom cirkeldiametern eller höjden på kulfallet), ökar också den beroende variabeln och vice versa.

En direkt relation är linjär. En cirkels omkrets är

var C betyder omkrets och D betyder diameter. Pi är alltid densamma, så om du fördubblar värdet på D, värdet av C fördubblas också. Om du ritade en graf över detta förhållande skulle det motsvara en rak linje med noll omkrets vid D = 0, 3,14 vid D = 1 och 31,4 vid D = 10. Gradientens lutning visar konstantens värde.

Omvända relationer fungerar annorlunda. Om du ökar x, värdet av y minskar. Om du till exempel går snabbare till din destination kommer din restid att minska. I detta exempel, x är din hastighet och y är restiden. Att fördubbla din hastighet halverar restiden och att öka hastigheten med tio gånger gör restiden tio gånger kortare.

Matematiskt har denna typ av relation formen:

var k är något konstant (fyller samma roll som pi i exemplet med direkt relation). Inversa relationer är dock inte raka linjer. När du börjar öka x, y minskar väldigt snabbt, men när du fortsätter att öka x sänkningstakten på y blir långsammare.

Till exempel om x är längden på ett par sidor av en rektangel, y är längden på det andra sidoparet, och k är området, formeln k = xy är giltigt, så y = k ÷ x. I detta fall, y är omvänt relaterad till x. För ett område k = 12, detta ger:

För x = 3, detta visar y = 4. För x = 6, då y = 2. För x = 12, då y = 1. Först en ökning med 3 tum x minskar y med 2, men sedan en ökning med 6 tum x bara minskar y med 1. Det är därför som omvända förhållanden minskar kurvor som blir grundare ju längre du rör dig längs dem.

I direkta relationer, en ökning av x leder till en motsvarande stor ökning av yoch en minskning har motsatt effekt. Detta gör en rak linje. I omvända förhållanden ökar x leder till en motsvarande minskning av yoch en minskning av x leder till en ökning av y. Detta gör ett kurvdiagram där nedgången är snabb först men blir långsammare för större värden på x.