Carnot Cycle: Derivation, Stages & Properties

Även om fysik används för att beskriva komplexa verkliga system löstes många av de problem du möter i verkligheten först med approximationer och förenklingar. Det här är en av de största färdigheterna du lär dig som fysiker: Förmågan att borra ner till det mest avgörande delar av ett problem och lämna alla röriga detaljer för efteråt, när du redan har ett bra grepp om hur en systemet fungerar.

Så även om du kanske tänker på en fysiker som försöker förstå en termodynamisk process som att gå igenom en lång kamp över vissa ännu längre ekvationer, i verkligheten, är den verkliga fysikern mer benägna att titta på problemet med en idealisering som deCarnot cykel​.

Carnot-cykeln är en speciell värmemotorcykel som ignorerar komplexiteten som kommer från den andra lagen om termodynamik - tendensen hos alla slutna system att öka i entropi över tid - och antar helt enkelt maximal effektivitet för systemet. Detta gör det möjligt för fysiker att behandla den termodynamiska processen som enreversibel cykel

Att lära sig arbeta med Carnot-cykeln innebär att man lär sig om naturen hos reversibla processer som adiabatiska och isotermiska processer och om stadierna i Carnot-cykeln.

En värmemotor är en typ av termodynamiskt system som förvandlar värmeenergi till mekanisk energi, och de flesta motorer i verkliga livet, inklusive bilmotorer, är någon typ av värmemotor.

Sedanförsta lagentermodynamik berättar att energi inte skapas utan bara omvandlas från en form till en annan (eftersom den anger bevarande värmemotorn är ett sätt att utvinna användbar energi från en form av energi som är lättare att generera, i det här fallet, värme. Enkelt uttryckt får uppvärmningen av ett ämne att det expanderar, och energin från denna expansion utnyttjas till någon form av mekanisk energi som kan fortsätta att utföra annat arbete.

De teoretiska grundläggande delarna av en värmemotor inkluderar ett värmebad eller en högtemperatur värmekälla, en lågtemperatur kallbehållare och själva motorn, som innehåller en gas. Värmebadet eller värmekällan överför värmeenergi till gasen, vilket leder till expansion som driver en kolv. Denna expansion gör motornarbetepå miljön och i processen släpper den ut värmeenergi i den kalla reservoaren, vilket återför systemet till sitt ursprungliga tillstånd.

Det kan finnas många olika termodynamiska processer under en värmemotorcykel, men den idealiserade Carnot-cykeln - uppkallad efter ”termodynamikens far” Nicolas Leonard Sadi Carnot - involverarreversibla processer. Verkliga processer är i allmänhet inte reversibla eftersom alla förändringar i ett system tenderar att öka entropi, men om processerna teoretiskt antas vara perfekta, kan denna komplikation vara ignoreras.

En reversibel process är en process som i huvudsak kan köras "bakåt i tiden" för att återställa systemet till dess ursprungliga tillstånd utan att bryta mot den andra lagen om termodynamik (eller någon annan fysiklag).

En isotermisk process är ett exempel på en reversibel process som sker vid konstant temperatur. Detta är inte möjligt i verkligheten eftersom det för att upprätthålla termisk jämvikt med miljön tar oändlig tid att slutföra processen. I praktiken kan du approximera en isotermisk process genom att få den att ske mycket, mycket långsamt, men som en teoretisk konstruktion, fungerar den tillräckligt bra för att fungera som ett verktyg för att förstå verklig termodynamik processer.

En adiabatisk process är en process som sker utan värmeöverföring mellan systemet och miljön. Återigen är detta inte riktigt möjligt eftersom det alltid kommer att finnasvissavärmeöverföring i ett riktigt system, och för att det verkligen ska ske måste det ske omedelbart. Men som med en isotermisk process kan det vara en användbar approximation för en verklig termodynamisk process.

Carnot-cykeln är en idealiserad, maximalt effektiv värmemotorcykel som består av adiabatiska och isotermiska processer. Det är ett enkelt sätt att beskriva en verklig värmemotor (och en liknande motor kallas ibland en Carnot-motor), med idealiseringarna som helt enkelt säkerställer att det är en helt reversibel cykel. Detta gör det också lättare att beskriva med hjälp av termodynamikens första lag och den ideala gaslagen.

I allmänhet är en Carnot-motor byggd kring en central behållare av gas, med en kolv fäst på toppen som rör sig när gasen expanderar och dras samman.

I det första steget av Carnot-cykeln förblir systemets temperatur konstant (det är en isotermisk process) när systemet expanderar, drar värmeenergi från den heta reservoaren och omvandlar den in i arbetet. I en värmemotor utförs arbete bara när gasvolymen ändras, så i detta steg fungerar motorn på miljön när den expanderar.

Emellertid beror den interna energin hos en idealgas bara på dess temperatur, och i en isotermisk process förblir systemets inre energi konstant. Noterar att termodynamikens första lag säger att:

VarUär förändringen i intern energi,Fär värmen tillsatt ochWär arbetet gjort för ∆U= 0 detta ger:

Eller med ord, värmeöverföringen till systemet är lika med det arbete som systemet utfört på miljön. Om du inte vill använda värmen direkt (eller om problemet inte ger dig tillräckligt med information för att beräkna den) kan du beräkna det arbete som utförts av systemet på miljön med uttrycket:

VarT​_hög avser temperaturen vid detta steg i cykeln (temperaturen sänks tillT​_låg senare i processen, så du kallar den här "hög temperatur"),när antalet mol gas i motorn,Rär den universella gaskonstanten,V​₂ är den slutliga volymen ochV​₁ är startvolymen.

I detta steg säger ordet "isentropisk" eller "adiabatisk" att ingen värme utbyts mellan systemet och dess omgivning, så enligt den första lagen ges hela förändringen av den inre energin genom arbetet i systemet gör.

Systemet expanderar adiabatiskt, så volymökningen (och därför utfört arbete) leder till en minskning av temperaturen i systemet. Du kan också tänka på temperaturskillnaden från början till slutet av processen som förklarar minskningen av systemets interna energi, enligt uttrycket:

Var ∆Tär temperaturförändringen. Dessa två fakta antyder att det arbete som utförts av systemet (W) kan relateras till temperaturförändringen, och uttrycket för detta är:

VarC​_v är ämnets värmekapacitet vid konstant volym. Kom ihåg att det utförda arbetet tas som negativt eftersom det är gjortförbisystemet snarare änpådet, vilket här ges automatiskt av det faktum att temperaturen minskar.

Detta kallas också ”isentropiskt” eftersom entropin i systemet förblir densamma under denna process, vilket innebär att det är helt reversibelt.

Isotermisk kompression är en minskning av volymen medan systemet hålls vid en konstant temperatur. Men när du ökar trycket på en gas åtföljs detta vanligtvis av en temperaturökning, och så måste den extra värmeenergin gå någonstans. I detta skede av Carnot-cykeln överförs tillskottet till den kalla behållaren och i termer av Första lagen är det värt att notera att för att komprimera gasen måste miljön göra arbete på systemet.

Som en isotermisk del av cykeln förblir systemets interna energi konstant. Som tidigare betyder detta att det arbete som utförs av systemet balanseras exakt av värmen som förloras till systemet, enligt termodynamikens första lag. Det finns ett analogt uttryck till det i steg 1 för denna del av processen:

I detta fall,T​_låg är den lägre temperaturen,V​₃ är startvolymen ochV​₄ är den slutliga volymen. Observera att den här gången kommer den naturliga logaritmtermen att komma ut med ett negativt resultat, vilket återspeglar det faktum att i i det här fallet utförs arbetet med systemet av miljön och värmen överförs från systemet till systemet miljö.

Det sista steget involverar adiabatisk komprimering, eller med andra ord, systemet komprimeras på grund av arbete som utförs av omgivningen men medNejvärmeöverföring mellan de två. Detta innebär att gasens temperatur ökar, och så sker en förändring av systemets inre energi. Eftersom det inte finns något värmeväxling i denna del av processen kommer förändringen i intern energi helt från det arbete som utförts på systemet.

På ett analogt sätt till steg 2 kan du relatera temperaturförändringen till det arbete som utförts på systemet, och i själva verket är uttrycket exakt detsamma:

Men den här gången måste du komma ihåg att temperaturförändringen är positiv, och att förändringen i den inre energin också är positiv genom ekvationen:

Vid denna tidpunkt har systemet återgått till sitt ursprungliga tillstånd, så det är initialt intern energi, volym och tryck. Carnot-cykeln bildar en sluten slinga på enPV-diagram (ett diagram över tryck vs. volym) eller faktiskt på ett T-S-diagram över temperatur vs. entropi.

I en fullständig Carnot-cykel är den totala förändringen i intern energi noll eftersom det slutliga tillståndet och det initiala tillståndet är desamma. Om du lägger till det arbete som utförts från alla fyra stegen, och kommer ihåg att i steg 1 och 3 är arbetet lika med den överförda värmen, det totala arbetet som gjorts ges av:

VarF​_h är värmen som läggs till systemet i steg 1 ochF​_c är värmen som går förlorad från systemet i steg 3, och uttrycken för arbetet i steg 2 och 4 avbryts (eftersom temperaturförändringarnas storlek är densamma). Eftersom motorn är utformad för att göra värmeenergi till arbete beräknar du effektiviteten hos en Carnot-motor med: effektivitet = arbete / tillsatt värme, så:

Här,T​_c är temperaturen i den kalla behållaren ochT​_h är temperaturen på den heta behållaren. Detta ger gränsen för maximal effektivitet för värmemotorer, och uttrycket visar att Carnot effektiviteten är större när skillnaden mellan temperaturerna i de heta och kalla behållarna är större.