Oavsett om det är en skridskoåkare som drar i armarna och snurrar snabbare som hon gör eller en katt som kontrollerar hur snabbt den snurrar under ett fall för att säkerställa att det hamnar på fötterna är begreppet ett tröghetsmoment avgörande för rotationsfysiken rörelse.
Annars kallas rotationsinerti, är tröghetsmomentet rotationsanalogen för massa i andra av Newtons rörelselag, som beskriver ett objekts tendens att motstå vinkelacceleration.
Konceptet verkar kanske inte så intressant först, men i kombination med lagen om bevarande av vinklar momentum kan den användas för att beskriva många fascinerande fysiska fenomen och förutsäga rörelse i ett brett spektrum av situationer.
Definition av Moment of Inertia
Tröghetsmomentet för ett objekt beskriver dess motståndskraft mot vinkelacceleration och redogör för massfördelningen runt dess rotationsaxel.
Det kvantifierar i huvudsak hur svårt det är att ändra hastigheten på ett objekts rotation, oavsett om det innebär att starta dess rotation, stoppa det eller ändra hastigheten på ett redan roterande objekt.
Det kallas ibland rotationsinerti, och det är användbart att tänka på det som en analog av massan i Newtons andra lag:Fnetto = mamma. Här kallas ett objekts massa ofta tröghetsmassan och det beskriver objektets motstånd mot (linjär) rörelse. Rotationsinerti fungerar precis så här för rotationsrörelser, och den matematiska definitionen inkluderar alltid massa.
Motsvarande uttryck till den andra lagen för rotationsrörelse avservridmoment (τ, rotationsanalogen av kraft) till vinkelaccelerationαoch tröghetsmomentJag:
\ tau = I \ alfa
Samma objekt kan emellertid ha flera tröghetsmoment, för även om en stor del av definitionen handlar om massfördelningen, står det också för platsen för rotationsaxeln.
Till exempel medan tröghetsmomentet för en stång som roterar runt dess centrum ärJag = ML2/ 12 (därMär massa ochLär längden på stången), har samma stång som roterar runt ena änden ett tröghetsmoment som ges avJag = ML2/3.
Ekvationer för tröghetsmoment
Så kroppens tröghetsmoment beror på dess massaM, dess radieRoch dess rotationsaxel.
I vissa fall,Rkallasd, för avstånd från rotationsaxeln och i andra (som med stången i föregående avsnitt) ersätts den med längd,L. SymbolenJaganvänds för tröghetsmoment och har enheter på kg m2.
Som du kan förvänta dig baserat på vad du har lärt dig hittills finns det många olika ekvationer för tröghetsmoment, och var och en hänvisar till en specifik form och en specifik rotationsaxel. I alla tröghetsmomenter, termenHERR2 visas, även om det för olika former finns olika fraktioner framför denna term, och i vissa fall kan det finnas flera termer som sammanfattas.
DeHERR2 komponent är tröghetsmomentet för en punktmassa på avståndRfrån rotationsaxeln och ekvationen för en specifik styv kropp byggs upp som en summa av punktmassor, eller genom att integrera ett oändligt antal små punktmassor över objektet.
Medan det i vissa fall kan vara användbart att härleda tröghetsmomentet för ett objekt baserat på en enkel aritmetisk summa av punktmassor eller genom att integrering, i praktiken finns det många resultat för vanliga former och rotationsaxlar som du helt enkelt kan använda utan att behöva härleda det först:
Massiv cylinder (symmetriaxel):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Massiv cylinder (axelns centrala diameter, eller diametern på det cirkulära tvärsnittet i mitten av cylindern):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Massiv sfär (mittaxel):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Tunt sfäriskt skal (mittaxel):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Båge (symmetriaxel, dvs vinkelrätt genom mitten):
Jag = MR ^ 2
Båge (diameteraxel, dvs över diametern på cirkeln som bildas av bågen):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Stång (centrumaxel, vinkelrätt mot stånglängd):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Stång (roterar kring änden):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Rotationsinerti och rotationsaxel
Att förstå varför det finns olika ekvationer för varje rotationsaxel är ett viktigt steg för att förstå begreppet ett tröghetsmoment.
Tänk på en penna: Du kan rotera den genom att snurra den runt i mitten, i slutet eller genom att vrida den runt dess centrala axel. Eftersom ett objekts rotationströghet beror på massfördelningen kring rotationsaxeln är var och en av dessa situationer olika och kräver en separat ekvation för att beskriva den.
Du kan få en instinktiv förståelse av begreppet tröghetsmoment om du skalar samma argument upp till en 30-fots flaggstång.
Det skulle vara mycket svårt att snurra det i slutet - om du alls kunde klara det - medan det skulle vara mycket lättare att snurra polen runt dess centrala axel. Detta beror på att vridmomentet beror starkt på avståndet från rotationsaxeln och i 30 fot flagga pole exempel, snurrar det änden över änden involverar varje extrem ände 15 fot bort från axeln rotation.
Men om du snurrar runt den centrala axeln är allt ganska nära axeln. Situationen är ungefär som att bära ett tungt föremål på armlängds kontra hålla den nära kroppen eller använda en spak från slutet vs. nära stödpunkten.
Det är därför du behöver en annan ekvation för att beskriva tröghetsmomentet för samma objekt beroende på rotationsaxeln. Axeln du väljer påverkar hur långt delar av kroppen är från rotationsaxeln, även om kroppens massa förblir densamma.
Använda ekvationerna för tröghetsmoment
Nyckeln till att beräkna tröghetsmomentet för en stel kropp är att lära sig att använda och tillämpa lämpliga ekvationer.
Tänk på pennan från föregående avsnitt, som snurras ände-över-ände runt en central punkt längs dess längd. Även om det inte är enperfektstång (den spetsiga spetsen bryter till exempel denna form) kan den modelleras som sådan för att spara att du måste gå igenom ett helt ögonblick av tröghetsavledning för objektet.
Så modellerar du objektet som en stav, skulle du använda följande ekvation för att hitta tröghetsmomentet kombinerat med den totala massan och längden på pennan:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
En större utmaning är att hitta tröghetsmomentet för sammansatta föremål.
Tänk till exempel på två bollar som är sammankopplade med en stav (som vi kommer att behandla som masslösa för att förenkla problemet). Kul en är 2 kg och placerad 2 m från rotationsaxeln, och kulan två är 5 kg i massa och 3 m från rotationsaxeln.
I det här fallet kan du hitta tröghetsmomentet för detta sammansatta objekt genom att betrakta varje boll som en punktmassa och arbeta utifrån den grundläggande definitionen att:
\ börja {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {aligned}
Med prenumerationerna som helt enkelt skiljer mellan olika objekt (dvs. kul 1 och kul 2). Tvåbollsobjektet skulle då ha:
\ börja {justerad} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ slut {justerad}
Tröghetsmoment och bevarande av vinkelmoment
Vinkelmoment (rotationsanalogen för linjär momentum) definieras som produkten av rotationsinerti (dvs. tröghetsmomentet,Jag) av objektet och dess vinkelhastighetω), som mäts i grader / s eller rad / s.
Du kommer utan tvekan att vara bekant med lagen om bevarande av linjär momentum, och vinkelmoment bevaras också på samma sätt. Ekvationen för vinkelmomentL) är:
L = Iω
Att tänka på vad detta betyder i praktiken förklarar många fysiska fenomen, för (i avsaknad av andra krafter), ju högre ett objekts rotationsinerti är, desto lägre är dess vinkelhastighet.
Tänk på en skridskoåkare som snurrar med konstant vinkelhastighet med utsträckta armar och notera att armarna som sträcks ut ökar radienRom vilken hans massa fördelas, vilket leder till ett större tröghetsmoment än om hans armar var nära hans kropp.
OmL1 beräknas med utsträckta armar, ochL2, efter att ha dragit in armarna måste ha samma värde (eftersom vinkelmoment bevaras), vad händer om han minskar sitt tröghetsmoment genom att dra i armarna? Hans vinkelhastighetωökar för att kompensera.
Katter utför liknande rörelser för att hjälpa dem att landa på fötterna när de faller.
Genom att sträcka ut benen och svansen ökar de sitt tröghetsmoment och minskar rotationshastigheten, och omvänt kan de dra i benen för att minska tröghetsmomentet och öka sin rotationshastighet. De använder dessa två strategier - tillsammans med andra aspekter av deras "rättningsreflex" - för att säkerställa att deras fötter landar först, och du kan se distinkta faser av att krypa upp och sträcka ut i tidsfördröjda fotografier av en katt landning.
Tröghetsmoment och roterande kinetisk energi
Fortsätter parallellerna mellan linjär rörelse och rotationsrörelse har föremål också kinetisk rotationsenergi på samma sätt som de har linjär kinetisk energi.
Tänk på en boll som rullar över marken, båda roterar kring dess centrala axel och rör sig framåt på ett linjärt sätt: Den totala kinetiska energin för bollen är summan av dess linjära kinetiska energiEk och dess kinetiska rotationsenergiEruttna. Parallellerna mellan dessa två energier återspeglas i ekvationerna för båda, och kom ihåg att ett objekt Tröghetsmoment är rotationsanalogen av massa och dess vinkelhastighet är rotationsanalogen av linjär hastighetv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Du kan tydligt se att båda ekvationerna har exakt samma form, med lämpliga rotationsanaloger ersatta med rotations kinetisk energiekvationen.
För att beräkna den kinetiska rotationsenergin måste du naturligtvis ersätta lämpligt uttryck för tröghetsmomentet för objektet i utrymmet förJag. Med tanke på bollen och modellera objektet som en solid sfär, är ekvationen i detta fall:
\ begin {align} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ slut {justerad}
Den totala kinetiska energin (Eparvel) är summan av detta och kulans kinetiska energi, så du kan skriva:
\ begin {align} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { Justerat}
För en 1 kg boll som rör sig med en linjär hastighet på 2 m / s, med en radie på 0,3 m och med en vinkelhastighet på 2π rad / s, skulle den totala energin vara:
\ begin {align} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0,71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ text {J} \ slut {justerad}
Beroende på situationen kan ett objekt endast ha linjär kinetisk energi (till exempel en boll som släpptes från en höjd utan att snurra på den) eller endast roterande kinetisk energi (en boll som snurrar men stannar på plats).
Kom ihåg att det ärtotalenergi som bevaras. Om en boll sparkas mot en vägg utan initial rotation, och den studsar tillbaka med lägre hastighet men med en snurr som ges, liksom energin förlorat för ljud och värme när det kom i kontakt, har en del av den ursprungliga kinetiska energin överförts till roterande kinetisk energi, och så detkan inteeventuellt gå så fort som det gjorde innan du studsade tillbaka.
