Hur man beräknar kombinationer och permutationer

Antag att du har n typ av objekt och att du vill välja en samling av dem. Vi kanske vill ha dessa artiklar i en viss ordning. Vi kallar dessa uppsättningar objekt permutationer. Om ordern inte spelar någon roll kallar vi uppsättningen samlingskombinationer. För både kombinationer och permutationer kan du överväga det fall där du väljer några av n-typerna mer än en gång, vilket kallas "med upprepning", eller det fall där du bara väljer varje typ en gång, vilket kallas "nej upprepning'. Målet är att kunna räkna antalet möjliga kombinationer eller permutationer i en given situation.

Faktorfunktionen används ofta vid beräkning av kombinationer och permutationer. N! betyder N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Till exempel 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Antalet sätt att beställa en uppsättning artiklar är ett faktum. Ta de tre bokstäverna a, b och c. Du har tre val för den första bokstaven, två för den andra och endast en för den tredje. Med andra ord totalt 3 × 2 × 1 = 6 beställningar. I allmänhet finns det n! sätt att beställa n artiklar.

Antag att du har tre rum du ska måla, och var och en kommer att målas i fem färger: röd (r), grön (g), blå (b), gul (y) eller orange (o). Du kan välja varje färg så många gånger du vill. Du har fem färger att välja mellan för det första rummet, fem för det andra och fem för det tredje. Detta ger totalt 5 × 5 × 5 = 125 möjligheter. I allmänhet är antalet sätt att välja en grupp r-objekt i en viss ordning från n repeterbara val n ^ r.

Antag nu att varje rum kommer att ha en annan färg. Du kan välja mellan fem färger för det första rummet, fyra för det andra och bara tre för det tredje. Detta ger 5 × 4 × 3 = 60, vilket bara råkar vara 5! / 2!. I allmänhet är antalet oberoende sätt att välja r-objekt i en viss ordning från n icke-upprepningsbara val n! / (N – r) !.

Glöm sedan bort vilket rum som är vilken färg. Välj bara tre oberoende färger för färgschemat. Ordningen spelar ingen roll här, så (röd, grön, blå) är densamma som (röd, blå, grön). För val av tre färger finns det 3! sätt du kan beställa dem. Så du minskar antalet permutationer med 3! för att få 5! / (2! × 3!) = 10. I allmänhet kan du välja en grupp av r-objekt i valfri ordning från ett urval av n icke-upprepningsbara val på n! / [(N – r)! × r!] Sätt.

Slutligen måste du skapa ett färgschema där du kan använda vilken färg som helst så många gånger du vill. En smart bokföringskod hjälper till att räkna uppgiften. Använd tre X för att representera rummen. Din färglista representeras av 'rgbyo'. Blanda X-erna i din färglista och associera varje X med den första färgen till vänster om den. Till exempel betyder rgXXbyXo att det första rummet är grönt, det andra är grönt och det tredje är gult. Ett X måste ha minst en färg till vänster, så det finns fem lediga platser för det första X. Eftersom listan nu innehåller ett X finns det sex lediga platser för andra X och sju tillgängliga platser för tredje X. Sammantaget finns det 5 × 6 × 7 = 7! / 4! sätt att skriva koden. Rummen är dock godtyckliga, så det finns egentligen bara 7! / (4! × 3!) Unika arrangemang. I allmänhet kan du välja r-objekt i valfri ordning från n repeterbara val på (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!] Sätt.