Radikala fraktioner är inte små upproriska fraktioner som stannar sent, dricker och röker potten. Istället är de fraktioner som innehåller radikaler - vanligtvis kvadratrötter när du först presenteras för koncept, men senare kan du också stöta på kubrötter, fjärde rötter och liknande, som alla kallas radikaler också. Beroende på exakt vad din lärare ber dig göra finns det två sätt att förenkla radikala fraktioner: Antingen ta bort radikalen helt enkelt, förenkla det eller "rationalisera" fraktionen, vilket innebär att du eliminerar radikalen från nämnaren men fortfarande kan ha en radikal i täljare.
Avbryta radikala uttryck från en bråkdel
Tänk på ditt första alternativ, ta med radikalen ur fraktionen. Det finns faktiskt två sätt att göra detta. Om samma radikal finns i alla villkor i både övre och nedre delen av fraktionen kan du helt enkelt räkna ut och avbryta det radikala uttrycket. Till exempel om du har:
(2√3) / (3√3_)_
Du kan räkna ut båda radikalerna, eftersom de är närvarande i varje term i täljaren och nämnaren. Det lämnar dig med:
√3/√3 × 2/3
Och eftersom varje bråk med exakt samma icke-nollvärden i täljare och nämnare är lika med ett, kan du skriva om detta som:
1 × 2/3
Eller helt enkelt 2/3.
Förenkla det radikala uttrycket
Ibland kommer du att ställas inför ett radikalt uttryck som inte har ett koncist svar, som √3 från föregående exempel. I så fall behåller du vanligtvis den radikala termen precis som den är, genom att använda grundläggande operationer som factoring eller annullering för att antingen ta bort den eller isolera den. Men ibland finns det ett uppenbart svar. Tänk på följande bråk:
(√4)/(√9)
I det här fallet, om du känner till dina kvadratrötter, kan du se att båda radikalerna faktiskt representerar välbekanta heltal. Kvadratroten på 4 är 2 och kvadratroten på 9 är 3. Så om du ser välbekanta kvadratrötter kan du bara skriva om bråkdelen med dem i deras förenklade heltal. I det här fallet skulle du ha:
2/3
Detta fungerar också med kubrötter och andra radikaler. Till exempel är kubroten på 8 2 och kubroten på 125 är 5. Så om du stött på:
(3√8) / (3√125)
Du skulle med lite övning kunna se direkt att det förenklar det mycket enklare och lättare att hantera:
2/5
Rationalisering av nämnaren
Ofta kommer lärare att låta dig behålla radikala uttryck i räknaren för din bråkdel. men precis som siffran noll orsakar radikaler problem när de dyker upp i nämnarens eller nedre delen av bråk. Så det sista sättet du kan bli ombedd att förenkla radikala fraktioner är en operation som kallas rationalisering av dem, vilket bara betyder att få radikalen ur nämnaren. Ofta betyder det att det radikala uttrycket dyker upp i täljaren istället.
Tänk på fraktionen
4/_√_5
Du kan inte enkelt förenkla _√_5 till ett heltal, och även om du räknar ut det, är du fortfarande kvar med en bråkdel som har en radikal i nämnaren, enligt följande:
1/_√_5 × 4/1
Så ingen av de metoder som redan diskuterats fungerar. Men om du kommer ihåg fraktionernas egenskaper, är en bråkdel med ett antal som inte är noll på både topp och botten lika med 1. Så du kan skriva:
√_5/√_5 = 1
Och eftersom du kan multiplicera 1 gånger något annat utan att ändra värdet på den andra saken, kan du också skriva följande utan att faktiskt ändra värdet på bråk:
√_5/√5 × 4/√_5
När du väl har multiplicerat händer något speciellt. Täljaren blir 4_√_5, vilket är acceptabelt eftersom ditt mål helt enkelt var att få radikalen ur nämnaren. Om det dyker upp i täljaren kan du hantera det.
Under tiden blir nämnaren √_5 × √5 eller (√_5)2. Och eftersom en kvadratrot och en kvadrat avbryter varandra, förenklar det helt enkelt 5. Så din bråkdel är nu:
4_√_5 / 5, som anses vara en rationell bråk eftersom det inte finns någon radikal i nämnaren.