Hur man hittar den största gemensamma faktorn för två siffror

Att hitta den största gemensamma faktorn, eller GCF, av två siffror är användbar i många situationer i matematik, men särskilt när det gäller att förenkla bråk. Om du kämpar med detta eller hittar gemensamma nämnare kan du lära dig två metoder för att hitta gemensamma faktorer hjälpa dig att uppnå det du tänker göra. För det första är det dock en bra idé att lära sig mer om de grundläggande faktorerna; sedan kan du titta på två metoder för att hitta gemensamma faktorer. Slutligen kan du titta på hur du använder dina kunskaper för att förenkla en bråkdel.

Faktorer är de siffror du multiplicerar tillsammans för att producera ett annat nummer. Till exempel är 2 och 3 faktorer på 6, eftersom 2 × 3 = 6. På samma sätt är 3 och 3 faktorer på 9, eftersom 3 × 3 = 9. Som ni kanske vet är primtal tal som inte har några andra faktorer än sig själva och 1. Så 3 är ett primtal, eftersom de enda två heltal (heltal) som kan multipliceras tillsammans för att ge 3 som svar är 3 och 1. På samma sätt är 7 ett primtal och 13 också.

På grund av detta är det ofta bra att dela upp ett tal i "huvudfaktorer". Detta innebär att du hittar alla primtalfaktorer för ett annat nummer. Det bryter i grunden upp numret i dess grundläggande "byggstenar", vilket är ett användbart steg mot att hitta den största gemensamma faktorn på två siffror och är också ovärderlig när det gäller att förenkla kvadrat rötter.

Den enklaste metoden för att hitta den största gemensamma faktorn för två siffror är att helt enkelt lista alla faktorer för varje nummer och leta efter det högsta antalet som båda delar. Tänk dig att du vill hitta den högsta gemensamma faktorn 45 och 60. Titta först på de olika siffrorna som du kan multiplicera tillsammans för att producera 45.

Det enklaste sättet att börja är med de två du vet kommer att fungera, även för ett primtal. I det här fallet vet vi 1 × 45 = 45, så vi vet att 1 och 45 är faktorer 45. Det här är de första och sista faktorerna på 45, så du kan bara fylla i därifrån. Räkna sedan ut om 2 är en faktor. Detta är enkelt, eftersom alla jämna nummer kan delas med 2, och alla udda siffror inte. Så vi vet att 2 inte är en faktor på 45. Vad sägs om 3? Du borde kunna upptäcka att 3 är en faktor 45, för 3 × 15 = 45 (du kan alltid bygga på vad du vet att ta reda på detta, till exempel vet du att 3 × 12 = 36, och att lägga till tre till detta leder dig till 45).

Därefter är 4 en faktor 45? Nej - du vet 11 × 4 = 44, så det kan inte vara! Nästa, vad sägs om 5? Det här är en annan lätt, eftersom alla siffror som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5. Och med detta kan du enkelt upptäcka att 5 × 9 = 45. Men 6 är inte bra för 7 × 6 = 42 och 8 × 6 = 48. Från detta kan du också se att 7 och 8 inte är 45 faktorer. Vi vet redan att 9 är det, och det är lätt att se att 10 och 11 inte är faktorer. Fortsätt den här processen så ser du att 15 är en faktor, men inget annat är det.

Så faktorerna 45 är: 1, 3, 5, 9, 15 och 45.

För 60 kör du igenom exakt samma process. Den här gången är antalet jämnt (så att du vet att 2 är en faktor) och delbart med 10 (så 5 och 10 är båda faktorer), vilket gör saker lite enklare. När du har gått igenom processen igen bör du se att faktorerna 60 är: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60.

Jämförelse av de två listorna visar att 15 är den största vanliga faktorn 45 och 60. Den här metoden kan vara tidskrävande, men den är enkel och den kommer alltid att fungera. Du kan också börja med vilken hög gemensam faktor du kan se direkt och sedan bara leta efter högre faktorer för varje nummer.

Den andra metoden för att hitta GCF för två siffror är att använda primfaktorer. Processen med primfaktorisering är lite enklare och mer strukturerad än att hitta varje faktor. Låt oss gå igenom processen i 42 och 63.

Processen med primfaktorisering innebär i princip att man bryter ner numret tills man bara har primtal. Det är bäst att börja med den minsta prime (två) och arbeta därifrån. Så för 42 är det lätt att se att 2 × 21 = 42. Arbeta sedan från 21: Är 2 en faktor? Nej. Är 3? ja! 3 × 7 = 21 och 3 och 7 är båda primtal. Detta betyder att huvudfaktorerna för 42 är 2, 3 och 7. Den första "pausen" använde 2 för att komma till 21, och den andra delade upp detta till 3 och 7. Du kan kontrollera detta genom att multiplicera alla dina faktorer tillsammans och kontrollera att du får originalnumret: 2 × 3 × 7 = 42.

För 63 är 2 inte en faktor, men 3 är, för 3 × 21 = 63. Återigen bryts 21 upp i 3 och 7 - båda prime - så att du känner till de viktigaste faktorerna! Kontroll visar att 3 × 3 × 7 = 63, efter behov.

Du hittar den högsta gemensamma faktorn genom att titta på vilka primfaktorer de två siffrorna har gemensamt. I det här fallet har 42 2, 3 och 7 och 63 har 3, 3 och 7. De har 3 och 7 gemensamt. För att hitta den högsta gemensamma faktorn, multiplicera alla gemensamma primfaktorer tillsammans. I det här fallet är 3 × 7 = 21, så 21 är den största gemensamma faktorn 42 och 63.

Det föregående exemplet kan också lösas snabbare på detta sätt. Eftersom 45 är delbart med tre (3 × 15 = 45), och 15 också är delbart med tre (3 × 5 = 15), är huvudfaktorerna 45 3, 3 och 5. För 60 är det delbart med två (2 × 30 = 60), 30 är också delbart med två (2 × 15 = 30), och sedan sitter du kvar med 15, som vi vet har tre och fem som huvudfaktorer, lämnar 2, 2, 3 och 5. Jämförelse av de två listorna är tre och fem de vanligaste huvudfaktorerna, så den största gemensamma faktorn är 3 × 5 = 15.

Om det finns tre eller flera vanliga huvudfaktorer, multiplicerar du dem alla på samma sätt för att hitta den största gemensamma faktorn.

Om du får en bråkdel som 32/96 kan det göra alla beräkningar som kommer efter det mycket komplicerade såvida du inte kan se ett sätt att förenkla bråk. Att hitta den lägsta gemensamma faktorn 32 och 96 berättar antalet du ska dela båda med, för att få en enklare bråkdel. I detta fall:

För 96 ger processen:

Det bör vara tydligt att 2⁵ = 32 är den högsta vanliga faktorn. Genom att dela båda delarna av fraktionen med 32 får du:

Att hitta gemensamma nämnare är en liknande process. Tänk dig att du var tvungen att lägga till fraktionerna 15/45 och 40/60. Vi vet från det första exemplet att 15 är den högsta gemensamma faktorn 45 och 60, så vi kan omedelbart uttrycka dem som 5/15 och 10/15. Eftersom 3 × 5 = 15, och båda täljarna också är delbara med fem, kan vi dela båda delarna av båda fraktionerna med fem för att få 1/3 och 2/3. Nu är de mycket lättare att lägga till och se det