Summan av kvadrater är ett verktyg statistiker och forskare använder för att utvärdera den totala variansen för en datamängd från dess medelvärde. En stor summa av kvadrater betecknar en stor varians, vilket innebär att enskilda avläsningar varierar kraftigt från medelvärdet.
Denna information är användbar i många situationer. Till exempel kan en stor avvikelse i blodtrycksavläsningar över en viss tidsperiod peka på en instabilitet i det kardiovaskulära systemet som behöver läkarvård. För finansiella rådgivare betyder en stor variation i dagliga aktievärden marknadsinstabilitet och högre risker för investerare. När du tar kvadratroten av summan av kvadrater får du standardavvikelsen, ett ännu mer användbart nummer.
Hitta summan av rutor
Antalet mätningar är provstorleken. Beteckna det med bokstaven "n."
Medelvärdet är det aritmetiska genomsnittet för alla mätningar. För att hitta det lägger du till alla mått och delar med provstorleken,n.
Siffror som är större än genomsnittet ger ett negativt tal, men det spelar ingen roll. Detta steg ger en serie n individuella avvikelser från medelvärdet.
När du kvadrerar ett tal är resultatet alltid positivt. Du har nu en serie n positiva siffror.
Detta sista steg producerar summan av kvadrater. Du har nu en standardvarians för din provstorlek.
Standardavvikelse
Statistiker och forskare lägger vanligtvis till ytterligare ett steg för att producera ett tal som har samma enheter som var och en av mätningarna. Steget är att ta kvadratroten av kvadratsumman. Detta tal är standardavvikelsen och det anger medelvärdet för varje mätning som avviker från medelvärdet. Siffror utanför standardavvikelsen är antingen ovanligt höga eller ovanligt låga.
Exempel
Antag att du mäter utetemperaturen varje morgon i en vecka för att få en uppfattning om hur mycket temperaturen fluktuerar i ditt område. Du får en serie temperaturer i grader Fahrenheit som ser ut så här:
Mån: 55, Tis: 62, Ons: 45, Tors: 32, Fre: 50, Lör: 57, Sön: 54
För att beräkna medeltemperaturen, lägg till mätningarna och dela med numret du registrerade, vilket är 7. Du tycker att medelvärdet är 50,7 grader.
Beräkna nu de enskilda avvikelserna från medelvärdet. Denna serie är:
50.7 - 55 = -4.3 \\ 50.7 -62 = −11.3 \\ 50.7 -45 = 5.7 \\ 50.7 - 32 = 18.7 \\ 50.7 -50 = 0.7 \\ 50.7 - 57 = −6.3 \\ 50.7 - 54 = −2.3
Kvadratera varje nummer:
-4.3^2 = 18.49 \\ −11.3^2 = 127.69 \\ 5.7^2 = 32.49\\ 18.7^2 = 349.69 \\ 0.7^2 = 0.49\\ −6.3^2 = 39.69 \\ −2.3^2 = 5.29
Lägg till siffrorna och dela med (n- 1) = 6 för att få 95,64. Det här är summan av kvadrater för denna mätserie. Standardavvikelsen är kvadratroten av detta nummer, eller 9,78 grader Fahrenheit.
Det är ett ganska stort antal, vilket berättar att temperaturen varierade en hel del under veckan. Det berättar också att tisdag var ovanligt varmt medan torsdag var ovanligt kallt. Du kan förmodligen känna det, men nu har du statistiska bevis.