Medan de engelska orden "sekvens" och "serier" har liknande betydelser, är de i matematik helt olika begrepp. En sekvens är en lista med nummer placerade i en definierad ordning medan en serie är summan av en sådan nummerlista. Det finns många typer av sekvenser, inklusive de som är baserade på oändliga siffror. Olika sekvenser och motsvarande serier har olika egenskaper och kan ge överraskande resultat.
TL; DR (för lång; Läste inte)
Sekvenser är listor över nummer placerade i en bestämd ordning enligt givna regler. Serien som motsvarar en sekvens är summan av siffrorna i den sekvensen. Serier kan vara aritmetiska, vilket innebär att det finns en fast skillnad mellan numren i serien, eller geometrisk, vilket betyder att det finns en fast faktor. Oändliga serier har inget slutligt nummer men kan fortfarande ha en fast summa under vissa förhållanden.
Typer av sekvenser och serier
Vanliga sekvenser är aritmetiska eller geometriska. I en aritmetisk sekvens skiljer sig varje nummer eller term i sekvensen från föregående term med samma mängd. Till exempel, om en aritmetisk sekvensskillnad är 2, kan en motsvarande aritmetisk sekvens vara 1, 3, 5... Om skillnaden är -3 kan en sekvens vara 4, 1, -2... Den aritmetiska sekvensen definieras av startnumret och skillnaden.
För geometriska sekvenser skiljer sig termerna med en faktor. Till exempel kan en sekvens med faktorn 2 vara 2, 4, 8... och en sekvens med faktorn 0,75 kan vara 32, 24, 18... Den geometriska sekvensen definieras av startnumret och faktorn.
Serietyperna beror på sekvensen som läggs till. En aritmetisk serie lägger till termerna för en aritmetisk sekvens och en geometrisk serie lägger till en geometrisk sekvens.
Slutliga och oändliga sekvenser och serier
Sekvenser och motsvarande serier kan baseras på ett fast antal termer eller ett oändligt antal. En ändlig sekvens har ett startnummer, en skillnad eller faktor och ett fast totalt antal termer. Till exempel skulle den första aritmetiska sekvensen ovan med åtta termer vara 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Den första geometriska sekvensen ovan med sex termer skulle vara 2, 4, 8, 16, 32, 64. Motsvarande aritmetiska serier skulle ha ett värde av 64 och den geometriska serien 126. Oändliga sekvenser har inte ett fast antal termer, och deras termer kan växa till oändlighet, minska till noll eller närma sig ett fast värde. Motsvarande serie kan också ha ett oändligt, noll eller fast resultat.
Konvergenta och divergerande serier
Oändliga serier är divergerande om summan närmar sig oändligheten när antalet termer ökar. En oändlig serie är konvergent om summan närmar sig ett icke-oändligt värde som noll eller ett annat fast tal. Serier är konvergerande om villkoren för den underliggande sekvensen snabbt närmar sig noll.
Serien som lägger till villkoren för den oändliga sekvensen 1, 2, 4... är divergent eftersom villkoren i sekvensen fortsätter att växa, så att summan når ett oändligt värde när antalet termer ökar. Serien 1, 0,5, 0,25... är konvergerande eftersom villkoren snabbt blir mycket små.
Medan sekvenser är ordnade listor med siffror och serier är summor, kan båda vara viktiga verktyg i utvärdera antal siffror och egenskaperna för konvergens eller divergens kan ha verkliga livet implikationer. En avvikande serie representerar ofta ett instabilt tillstånd medan en konvergerande serie ofta innebär att en process eller struktur kommer att vara stabil.