Kvadratrötter finns ofta i matematik- och naturvetenskapliga problem, och alla elever måste plocka upp grunderna i kvadratrötter för att hantera dessa frågor. Kvadratrötter frågar ”vilket tal, när det multipliceras med sig själv, ger följande resultat,” och som sådan måste du tänka på siffror på ett något annat sätt för att arbeta ut dem. Du kan dock enkelt förstå reglerna för kvadratrötter och svara på alla frågor som rör dem, oavsett om de kräver direkt beräkning eller bara förenkling.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En kvadratrot frågar dig vilket nummer, multiplicerat med sig själv, ger resultatet efter √-symbolen. Så √9 = 3 och √16 = 4. Varje rot har tekniskt sett ett positivt och ett negativt svar, men i de flesta fall är det positiva svaret det du är intresserad av.
Du kan faktor kvadratrötter precis som vanliga tal, så √ab = √a √b, eller √6 = √2√3.
Vad är en fyrkantig rot?
Kvadratrötter är motsatsen till att "kvadrera" ett tal eller multiplicera det med sig själv. Till exempel är tre kvadrat nio (32 = 9), så kvadratroten på nio är tre. I symboler är detta
\ sqrt {9} = 3
“√” -symbolen säger att du ska ta kvadratroten av ett tal, och du hittar det på de flesta miniräknare.
Kom ihåg att varje nummer faktiskt hartvåkvadratrötter. Tre multiplicerat med tre är lika med nio, men negativa tre multiplicerat med negativa tre är också lika med nio, så
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {och} \ sqrt {9} = ± 3
med ± står för "plus eller minus." I många fall kan du ignorera talets negativa kvadratrötter, men ibland är det viktigt att komma ihåg att varje nummer har två rötter.
Du kan bli ombedd att ta "kubrot" eller "fjärde rot" av ett nummer. Kubroten är det tal som, när det multipliceras med sig själv två gånger, motsvarar det ursprungliga numret. Den fjärde roten är det tal som multipliceras med sig själv tre gånger är lika med det ursprungliga numret. Liksom kvadratrötter är dessa precis motsatsen till att ta kraften i siffror. Så, 33 = 27, och det betyder att kubroten på 27 är 3, eller
\ sqrt [3] {27} = 3
“∛” -symbolen representerar kubroten för numret som kommer efter det. Rötter uttrycks ibland också som fraktionerade krafter, så
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {och} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Förenkla fyrkantiga rötter
En av de mest utmanande uppgifterna du kan utföra med kvadratrötter är att förenkla stora kvadratrötter, men du behöver bara följa några enkla regler för att hantera dessa frågor. Du kan faktor kvadratrötter på samma sätt som du faktor vanliga tal. Så till exempel 6 = 2 × 3, så
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Att förenkla större rötter innebär att man tar faktoriseringen steg för steg och kommer ihåg definitionen av kvadratrot. Till exempel är √132 en stor rot, och det kan vara svårt att se vad man ska göra. Du kan dock enkelt se att den kan delas med 2 så att du kan skriva
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Men 66 är också delbart med 2, så du kan skriva:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
I det här fallet ger en kvadratrot av ett tal multiplicerat med en annan kvadratrot bara det ursprungliga numret (på grund av definitionen av kvadratrot), så
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Kort sagt, du kan förenkla kvadratrötter med följande regler
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Vad är kvadratroten av ...
Med hjälp av definitionerna och reglerna ovan kan du hitta kvadratrötterna för de flesta siffror. Här är några exempel att tänka på.
Kvadratroten på 8
Detta kan inte hittas direkt eftersom det inte är kvadratroten till ett heltal. Att använda reglerna för förenkling ger dock:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Kvadratroten av 4
Detta använder den enkla kvadratroten på 4, som är √4 = 2. Problemet kan lösas exakt med hjälp av en miniräknare, och √8 = 2.8284 ...
Kvadratroten på 12
Använd samma tillvägagångssätt, försök att räkna ut kvadratroten på 12. Dela roten i faktorer och se om du kan dela upp den i faktorer igen. Försök med detta som ett praktikproblem och titta sedan på lösningen nedan:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Återigen kan detta förenklade uttryck antingen användas i problem efter behov eller beräknas exakt med hjälp av en miniräknare. En miniräknare visar det
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Kvadratroten på 20
Kvadratroten på 20 finns på samma sätt:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Kvadratroten på 32
Slutligen, tackla kvadratroten på 32 med samma tillvägagångssätt:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Observera här att vi redan har beräknat kvadratroten på 8 som 2√2, och att √4 = 2, så:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ...
Kvadratisk rot av ett negativt nummer
Även om definitionen av kvadratrot betyder att negativa tal inte borde ha kvadratrot (eftersom något tal multipliceras i sig ger ett positivt tal som ett resultat), matematiker stötte på dem som en del av problem i algebra och utformade en lösning. Det "imaginära" numretianvänds för att betyda "kvadratroten av minus 1" och alla andra negativa rötter uttrycks som multiplar avi. Så
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Dessa problem är mer utmanande, men du kan lära dig att lösa dem baserat på definitionen avioch standardreglerna för rötter.
Exempel på frågor och svar
Testa din förståelse av kvadratrötter genom att förenkla efter behov och sedan beräkna följande rötter:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Försök att lösa dessa innan du tittar på svaren nedan:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196
