Hur man kuberar binomaler

Algebra är full av upprepande mönster som du kan räkna ut med aritmetik varje gång. Men eftersom dessa mönster är så vanliga finns det vanligtvis en formel av något slag för att göra beräkningarna enklare. Kuben i en binomial är ett utmärkt exempel: Om du var tvungen att räkna ut den varje gång spenderade du mycket tid på penna och papper. Men när du väl känner till formeln för att lösa den kuben (och några praktiska knep för att komma ihåg den) är det enkelt att hitta ditt svar som att koppla in rätt termer i rätt variabla kortplatser.

TL; DR (för lång; Läste inte)

Formeln för kuben i en binomial (a + b) är:

(a + b)³ = a³ + 3_a_²b + 3_ab_² + b³

Det finns inget behov av panik när du ser ett problem som (a + b)³ framför er. När du väl har delat upp det i dess välbekanta komponenter kommer det att se ut som mer kända matematiska problem du har gjort tidigare.

I det här fallet hjälper det att komma ihåg det

(a + b)³

är det samma som

(a + b) (a + b) (a + b), som borde se mycket mer bekant ut.

Men istället för att träna matematiken från grunden varje gång kan du använda "genvägen" till en formel som representerar svaret du får. Här är formeln för kuben i en binomial:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

För att använda formeln, identifiera vilka siffror (eller variabler) som upptar platserna för "a" och "b" till vänster om ersätt sedan samma siffror (eller variabler) i "a" och "b" -facket till höger om formel.

Exempel 1: Lösa (x + 5)³

Som du kan se, x upptar "a" -facket till vänster om din formel och 5 upptar "b" -facket. Ersätter x och 5 till höger om formeln ger dig:

x³ + 3x²5 + 3x5² + 5³

Lite förenkling får dig närmare ett svar:

x³ + 3 (5) x² + 3 (25) x + 125

Och slutligen, när du väl har förenklat så mycket du kan:

x³ + 15x² + 75x + 125

Du behöver inte en annan formel för att lösa ett problem som (y - 3)³. Om du minns det y - 3 är det samma som y + (-3)kan du helt enkelt skriva om problemet till [y + (-3)]³ och lösa det med din välbekanta formel.

Exempel 2: Lösa (y - 3)³

Som redan diskuterats är ditt första steg att skriva om problemet till [y + (-3)]³.

Kom sedan ihåg din formel för kuben i en binomial:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

I ditt problem, y upptar "a" -facket på vänster sida av ekvationen och -3 upptar "b" -facket. Byt ut dem i lämpliga slitsar på höger sida av ekvationen, var noga med dina parenteser för att bevara det negativa tecknet framför -3. Detta ger dig:

y³ + 3 år²(-3) + 3y (-3)² + (-3)³

Nu är det dags att förenkla. Återigen, var noga med det negativa tecknet när du använder exponenter:

y³ + 3 (-3) y² + 3 (9) y + (-27)

Ytterligare en förenklingsrunda ger dig ditt svar:

y³ - 9 år² + 27 år - 27

Var alltid uppmärksam på var exponenterna är i ditt problem. Om du ser ett problem i formuläret (a + b)³, eller [a + (-b)]³, då är formeln som diskuteras här lämplig. Men om ditt problem ser ut (a³ + b³) eller (a³ - b³), det är inte kuben i en binomial. Det är summan av kuber (i det första fallet) eller skillnaden mellan kuber (i det andra fallet), i vilket fall du använder en av följande formler:

(a³ + b³) = (a + b) (a² - ab + b²)

(a³ - b³) = (a - b) (a² + ab + b²)