Grattis till Pi-dagen! 3 enkla sätt att uppskatta Pi

Den 14 mars (3/14) är Pi-dagen (för att inte tala om Albert Einsteins födelsedag), och den har blivit en så viktig händelse att den officiellt erkändes av USA: s representanthus 2009.

Det finns många sätt att fira tillfället, från det enklaste och roligaste (baka en verklig paj, med π-symbolen på toppen för gott mått) till det mer matematiska och intressanta. Här på Sciencing gör vi det aldrig avskräcka dig från att göra en paj, men det finns många andra unika aktiviteter du kan njuta av när den bakas eller efter att du har ätit en bit eller två.

Även om människor har känt till pi i över 4000 år, var det historiskt en av de viktigaste uppgifterna som matematiker tog upp för att få bättre och bättre approximationer för de oändligt utsträckta decimalerna. Naturligtvis kommer du aldrig till 31 biljon siffror som för närvarande är kända, men du kan använda några unika metoder för att få en ganska nära approximation till det berömda numret.

Detta tillvägagångssätt är mer praktiskt än de andra i den här listan, så du behöver en kompass och penna, ett papper eller ett kort, en linjal, en sax och en gradskiva. Rita först en cirkel på ditt kortbit och se till att du känner till radien. Dela sedan cirkeln i 12 lika sektorer (som pizzaskivor) och välj en av dessa för att dela upp igen i två lika delar för att ge totalt 13 sektorer.

Klipp ut cirkeln och klipp ut sektorerna. Ordna om sektorerna i form av en rektangel, med den raka kanten på de mindre sektorerna kortsidan och den tunna änden av ett stycke snett mellan de krökta ändarna av de två angränsande bitar. Rektangelns höjd är cirkelns radie och bredden är hälften av den ursprungliga cirkelns omkrets.

Eftersom omkrets = 2 × π × radie har vi:

Och du kan uppskatta pi med:

Så allt du behöver göra är att mäta rektangelns långsida och dela med radien för att få en approximation för pi.

Archimedes använde en enkel men kraftfull metod för att approximera värdet på pi, i huvudsak omgivande en cirkel med två polygoner, en precis innanför och en precis utanför cirkelns linje. Cirkelns omkrets måste vara mellan omkretsen av dessa två polygoner, och du kan räkna ut pi utifrån detta. Uppskattningen blir bättre och bättre när du lägger till fler sidor till polygonerna (se Resurser för ett exempel).

Du kan använda en av två metoder för att göra detta själv. Enkelt kan du rita polygonerna själv och antingen använda trigonometri för att hitta eller bokstavligen mäta omkretsen och sedan dela upp resultatet med 2_r_ (dvs 2 gånger cirkelns radie) för att hitta gränserna för pi (med den inre formen som ger minimum och den yttre som ger maximal.

Alternativt kan du använda en enkel formel baserad på en cirkel med en diameter på 1 (dvs. r = 1/2):

Var θ är vinkeln i mitten av en av formens triangulära sektioner, och n är antalet sidor. Så om du använder en 20-sidig polygon delar du helt enkelt 360 ° (en komplett cirkel) med 20 för att hitta θ.

En av de mest geniala metoderna för att uppskatta pi kallas Buffons nål, uppkallad efter den franska filosofen Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, som upptäckte tillvägagångssättet. Skaffa ett papper och rita en uppsättning parallella linjer på samma avstånd, med ett avstånd mellan dem vi kallar d, släpp sedan många pinnar på papperet. Nyckeln till detta tillvägagångssätt är att använda pinnar med en längd l det är mindre än avståndet mellan raderna, så om du använder tändstickor bör du se till att du skiljer raderna med mer än längden på en tändsticka.

Du kan uppskatta pi baserat på:

var l och d är såsom definierats ovan, s är det totala antalet pinnar du har tappat på papperet och c är antalet pinnar som passerar en linje. Detta är ett statistiskt tillvägagångssätt för att hitta svaret, så ju fler pinnar du tappar, desto bättre blir uppskattningen. Det är faktiskt en form av Monte Carlo-simulering för att hitta värdet på pi.

Om detta verkar som mycket arbete (och städning!) Finns det en onlineversion som du kan använda för att simulera experimentet (se Resurser).