Vektorer och skalor: vad är de och varför de betyder?

I vardagen använder de flesta termernahastighetochhastighetutbytbart, men för fysiker är de exempel på två mycket olika typer av kvantitet.

Mekanikproblem hanterar objektens rörelse, och även om du bara kan beskriva rörelse i termer av hastighet är den specifika riktningen som något går ofta kritiskt viktig.

På samma sätt kan de krafter som appliceras på föremål komma från många olika riktningar - tänk på de motsatta dragningarna i ett dragkamp, ​​till exempel - så fysiker som beskriver situationer som detta måste använda mängder som beskriver både ”storleken” på saker som krafter och i vilken riktning de spela teater. Dessa kvantiteter kallasvektorer​.

TL; DR (för lång; Läste inte)

En vektor har både en storlek och en specifik riktning, men en skalär kvantitet har bara en storlek.

Huvudskillnaden mellan vektorer och skalärer är att en vektors storlek inte helt beskriver den; det måste också finnas en angiven riktning.

Riktningen för en vektor kan anges på flera sätt, antingen genom positiva eller negativa tecken framför den, som uttrycker den i form av komponenter (skalära värden bredvid lämplig

Däremot är en skalar bara vektorn, utan ytterligare information eller information - till exempel är hastighet en skalarekvivalent till hastighetsvektorn. Ur ett matematiskt perspektiv är det det absoluta värdet på vektorn.

Men många kvantiteter, såsom energi, tryck, längd, massa, effekt och temperatur är exempel på skalar som inte bara är storleken på en motsvarande vektor. Du behöver inte veta massens "riktning", till exempel för att ha en fullständig bild av den som en fysisk egenskap.

Det finns några kontraintuitiva fakta som du kan förstå när du vet skillnaden mellan en skalär och en vektor, såsom tanken att något kan ha en konstant hastighet men en ständigt förändring hastighet. Föreställ dig en bil som kör med en konstant hastighet på 10 km / h men i en cirkel. Eftersom riktningen för en vektor är en del av dess definition är bilens hastighetsvektor alltid förändras i detta exempel, trots att vektornes storlek (dvs dess hastighet) är konstant.

Det finns många exempel på vektorer inom fysik, men några av de mest kända exemplen är kraft, momentum, acceleration och hastighet, som alla har en stark funktion inom klassisk fysik. En hastighetsvektor kan visas som 25 m / s österut, −8 km / h iy-riktning,​v​= 5 m / si+ 10 m / sj, eller 10 m / s i riktning 50 grader frånx-axel.

Momentumvektorer är ett annat exempel du kan använda för att se hur storleken och riktningen på vektorn visas i fysik. Dessa fungerar precis som exempel på hastighetsvektorer, med 50 kg m / s västerut, −12 km / h izriktning,​sid​= 12 kg m / si- 10 kg m / sj- 15 kg m / skoch 100 kg m / s 30 grader frånx-axlar är exempel på hur de kan visas. Samma grundläggande punkter gäller för visning av accelerationsvektorer, med den enda skillnaden som enheten m / s² och den vanliga symbolen för vektorn,​a​​.

Kraft är det sista av dessa exempel på vektoruttryck, och även om det finns många likheter använder man cylindriska koordinater (r​, ​θ​, ​z) istället för kartesiska koordinater kan hjälpa till att visa andra sätt de kan visas på. Du kan till exempel skriva en kraft som​F​= 10 N.r+ 35 N𝛉, för en kraft med komponenter i radiell riktning och azimutal riktning, eller beskriv tyngdkraften på ett 1 kg objekt på jorden som 10 N i -rriktning (dvs. mot planetens centrum).

I diagram visas vektorer med hjälp av pilar, med storleken på vektorn representerad av pilens längd och dess riktning representerad av pilens riktning. Till exempel visar en större pil att en kraft är större (dvs. fler ton eller en större storlek) än en annan kraft.

För en vektor som visar rörelse, såsom momentum eller hastighetsvektor, ärnoll vektor(dvs en vektor som inte representerar någon hastighet eller momentum) visas med en enda punkt.

Det är värt att notera att eftersom längden på pilen representerar storleken på vektorn och dess orientering representerar vektorn. Det är bra att försöka vara ganska korrekt när du gör ett vektordiagram. Det behöver inte vara perfekt, men om vektorn​a​är dubbelt så stor som vektorn​b​, bör pilen vara ungefär dubbelt så lång.

Vektortillägg och vektorsubtraktion är lite mer komplicerade än att lägga till och subtrahera skalar, men du kan enkelt hämta koncepten. Det finns två huvudmetoder du kan använda, och var och en har potentiella användningar beroende på det specifika problemet du hanterar.

Det första och det enklaste att använda när du har fått två vektorer i komponentform är att helt enkelt lägga till matchande komponenter på samma sätt som du skulle lägga till vanliga skalar. Till exempel om du behövde lägga till de två krafterna​F​​₁ = 5 N.i+ 10 Njoch​F​​₂ = 6 Ni+ 15 Nj+ 10 Nk, skulle du lägga tillikomponenter, sedanjkomponenter och slutligenkkomponenter enligt följande:

Vector subtraktion fungerar på exakt samma sätt, förutom att du subtraherar kvantiteterna snarare än att lägga till dem. Vektortillägg är också kommutativt, som vanligt tillägg med reella tal, så​a ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​a​​.

Du kan också utföra vektortillägg med hjälp av pildiagram genom att lägga vektorpilarna mot svansen och sedan Rita en ny vektorpil för summan av vektorerna som förbinder svansen av den första pilen med huvudet på andra.

Om du har en enkel vektortillägg med en ix-riktning och en annan iy-riktning bildar diagrammet en rätvinklig triangel. Du kan slutföra vektortillägget och bestämma den resulterande vektornes storlek och riktning genom att "lösa" triangeln med hjälp av trigonometri och Pythagoras sats.

Att multiplicera vektorer är lite mer komplicerat än skalär multiplikation för reella tal, men de två huvudformerna för multiplikation är punktprodukten och korsprodukten. Punktprodukten kallas skalärprodukt och definieras som:

eller

varθär vinkeln mellan de två vektorerna och prenumerationerna 1, 2 och 3 representerar den första, andra och tredje komponenten i vektorn. Resultatet av punktprodukten är en skalär.

Tvärprodukten definieras som:

med kommatecken som separerar komponenter i resultatet i olika riktningar.