Vinkelmoment: definition, ekvation, enheter (med diagram och exempel)

Tänk på scenen: Du och en vän står på toppen av en lång, sluttande ramp på grund av problem utanför din kontroll. Var och en av er har fått en boll exakt 1 m i radie. Du har fått höra att din är gjord av ett enhetligt, skumliknande material och har en massa på 5 kg. Din väns boll har också en massa på 5 kg, som du bekräftar med en praktisk skala.

Din vän vill satsa på dig att om du släpper de två bollarna samtidigt kommer din att komma till botten först. Du är frestad att argumentera för att eftersom kulorna har samma massa och samma radie (och därmed volym) kommer de att accelereras av tyngdkraften nerför rampen till samma hastighet under hela nedstigningen. Men något stoppar din satsning "momentum", och du tar inte satsningen ...

... klokt, som det visar sig. Även om det först inte är meningsfullt, rör sig din väns boll, av alla synpunkter en egen tvilling, långsammare nerför rampen än din gör. När experimentet är över kräver du att kulorna demonteras och undersöks för tecken på knep. Istället är allt du hittar att de 5 kg massa i din väns boll var begränsade till ett tunt skal runt utsidan, med det inre ihåligt.

Vad sägs om den ovan beskrivna konfigurationen lutar värdet på v till din bolls fördel? Som händer, precis somkrafterändralinjär fartav föremål medlinjär hastighet​, ​vridmomentändravinkelmomentav föremål medvinkelhastighet​.

Ett styvt rullande föremål har både linjär momentum och vinkelmoment, eftersom dess masscentrum rör sig med konstant hastighet v (lika till den tangentiella hastigheten på kulan eller hjulet), varannan del av objektet roterar runt det masscentrum med vinkelhastighet ω.

Hur massa fördelas inom ett objekt har ingen inverkan på dess linjära moment, utan bestämmer dess vinkelmoment på ett utsökt sätt. Den gör detta genom en "massliknande" (för rotationsändamål) kvantitet kallad tröghetsmoment, högre värden på vilket innebär både svårare att få något att rotera och svårare att stoppa det när det redan är roterande.

Vinkelmoment är ett mått på hur svårt det är att ändra ett objekts rotationsrörelse. Det beror på objektets tröghetsmoment och dess vinkelhastighet. Vinkelmoment är en konserverad kvantitet, vilket innebär att summan av partiklarnas vinkelmoment i ett slutet system alltid är densamma, även om summan av enskilda partiklar kan fluktuera.

Vinkelmoment är, som noterat, också en funktion av massfördelningen kring en axel. För att få en intuitiv känsla av detta, tänk dig att stå 1 fot från mitten av en enorm karusell som gör en revolution var tionde sekund. Föreställ dig nu att du befinner dig på samma fot med samma vinkelhastighet när du står 1milefrån centrum. Det krävs inte mycket fantasi för att tänka på skillnaden i vinkelmoment i dessa två scenarier.

​Vinkelmoment är produkten av tröghetsmomentet gånger dess vinkelhastighet, eller:
​

varL= vinkelmoment i kg ∙ m²/s,Jag= tröghetsmoment i kg ∙ m²och ω = vinkelhastighet i radianer per sekund (rad / s).

• ​Jagkallas också det andra ögonblicket av området.

Observera att diskussionen har utvidgats från en punktmassa till en fast kropp, såsom en cylinder eller sfär, som roterar kring en axel. Ett objekts masscentrum ligger ofta inte vid dessgeometriskcentrum, så värden påJagberor på hur objektets massa fördelas. Ofta är detta symmetriskt men inte enhetligt, till exempel en ihålig skiva med all sin massa i en tunn remsa på utsidan (med andra ord en ring).

Vinkelmomentvektorn pekar längs rotationsaxeln, vinkelrät mot det plan som bildas avr, den cirkulära "svepningen" av vilken punkt som helst i objektet genom rymden.

Ett referensdiagram för värdet avJagför olika vanliga former finns i resurserna. Använd dessa för att komma igång med några grundläggande vinkelmomentproblem.

• Anteckna detJagför ett sfäriskt skal är (2/3) mr² medan en sfär är (2/5) mr². Om du går tillbaka till satsningen i inledningen kan du nu se att din väns boll har (2/3) / (2/5) = 1,67 gånger tröghetsmomentet som din egen, vilket förklarar att du vann "loppet".

1. En skiva med rotationsinertiJag1,5 kg ∙ m²/ s roterar kring en axel med en vinkelhastighetωav 8 rad / s. Vad är dess vinkelmomentL​?

2. En tunn stång 15 m lång med en massa på 5 kg - handen på en massiv klocka, säg - roterar runt en punkt fixerad i ena änden med en vinkelhastighetωav 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Vad är dess vinkelmomentL​?

Den här gången måste du slå upp värdet avJag. För en tunn stav som rör sig på detta sätt,Jag= (1/3) mr²​.

Jämför detta med svaret i det första exemplet. Överraskar detta dig? Varför eller varför inte?

”Bevarande” betyder något lite annorlunda inom fysik än vad det gör i ekosystemens rike. Det betyder helt enkelt att den totala mängden konserverade kvantiteter (energi, momentum, massa och tröghet är de "stora fyra" konserverade kvantiteterna i fysik) i ett system, inklusive universum, förblir alltid samma. Om du försöker "eliminera" energi, dyker den helt enkelt upp i en annan form, och varje försök att "skapa" den är beroende av en befintlig källa.

Lagen om bevarande av vinkelmoment säger att i ett slutet system kan den totala vinkelmomentet inte förändras. Eftersom vinkelmoment beror på vinkelhastighet och tröghetsmoment kan man förutsäga hur någon av dessa mängder sedan måste förändras i förhållande till varandra i en given situation.

• Formellt, eftersom vridmoment kan uttryckas somτ= dL/ dt (förändringshastigheten om vinkelmoment med tiden), när summan av vridmomenten i ett system är noll, då dL/ dt måste också vara noll och det sker ingen förändring i vinkelmomentet i systemet under den tidsram som systemet bedöms. Omvänt, om L inte är konstant, innebär detta en obalans i vridmoment i systemet (dvs.τ_nettoärintelika med noll).

Detta är ett viktigt begrepp i många mekaniksexempel från det dagliga livet. Ett klassiskt exempel är skridskoåkaren: När hon hoppar i luften för att göra en trippelaxel drar hon tätt in i armar och ben. Detta minskar hennes övergripande radie runt sin rotationsaxel och ändrar massfördelningen så att hennes tröghetsmoment minskar (kom ihåg,Jagär proportionell mot mr²​).

Eftersom vinkelmoment bevaras, omJagminskar, hennes vinkelhastighet måste öka; det är så hon snurrar tillräckligt snabbt för att slutföra flera rotationer i luften! När hon landar gör hon det motsatta - hon sprider sina ben och ändrar sin massfördelning för att öka sitt tröghetsmoment och saktar ner sin rotationshastighet (vinkelhastighet) i sin tur.

Överallt är systemets vinkelmoment konstant, men variablerna som bestämmer storleken på vinkelmomentet kan manipuleras och med strategisk effekt, som i detta fall.

Från och med 1600-talet började Isaac Newton revolutionera matematisk fysik effektivt. Efter att ha uppfunnit kalkylen var han väl positionerad för att göra formella påståenden om de förmodligen universella lagarna styr rörelsen av objekt, både translationellt (linjärt och genom rymden) och roterande (cykliskt och omkring) en axel).

• De olikabevarande lagarsom får gott omnämnande senare är inte Newtons hjärnbarn, men det finns betydande relationer mellan dessa och rörelsens lagar.

​Newtons första laganger att ett föremål i vila eller rör sig med konstant hastighet kommer att förbli i detta tillstånd såvida inte en yttre kraft verkar på föremålet. Detta kallas ocksåtröghetslagen.​

​Newtons andra laghävdar att en nettokraftF_nettoverkar på en partikel med massam, tenderar det att ändra hastigheten på eller påskynda massan. Detta berömda förhållande uttrycks matematiskt somF_netto= ma​.

​Newtons tredje lagsäger att för varje kraft som existerar i naturen finns det en kraft lika stor som pekar i exakt motsatt riktning. Denna lag har viktiga konsekvenser för bevarade rörelseegenskaper, inklusive vinkelmoment.

Nu är det en utmärkt tid att granska karaktären, reglerna och relationerna mellantvinga​, ​Momentum(massa gånger hastighet) ochenergi, som inte bara informerar diskussioner om vinkelmoment utan allt annat inom klassisk fysik.

Såsom noterats, såvida inte ett objekt upplever en yttre kraft (eller i fallet med ett roterande föremål, externt vridmoment), fortsätter dess rörelse opåverkad. På jorden är dock tyngdkraften nästan alltid blandad, liksom de mindre bidragsgivarna luftmotstånd och olika typer av friktion krafter, så ingenting helt enkelt rör sig om det inte ibland ges energi att ersätta det som "tas" av dessa kroniska "rörelser tjuvar. "

För att förenkla har en partikel entotal energibestående avinre energi(t.ex. dess molekylers vibrationer) ochmekanisk energi. Mekanisk energi är vänd summan avpotentiell energi(PE; "lagrad" energi, vanligtvis via gravitation) ochrörelseenergi(KE; rörelseenergi). Hjälpsamt är PE + KE + IE = en konstant för alla system, vare sig det är en punktmassa (enstaka partiklar) eller en mängd olika viskande, interagerande massor.

När du hör termer relaterade till rörelse, såsom hastighet, acceleration, förskjutning och momentum, antar du antagligen som standard att sammanhanget är linjär rörelse. Rotationsrörelse har faktiskt sina egna unika men analoga mängder.

Medan linjär förskjutning mäts i meter (m) i SI-enheter mäts vinkelförskjutning i radianer (2π rad = 360 grader). Följaktligen,vinkelhastighetmäts i rad / s och representeras avω, den grekiska bokstaven omega.

Men när en punktmassa rör sig runt sin rotationsaxel, förutom vinkelhastigheten, spårar partikeln ut en cirkulär bana med en given hastighet, liknande linjär rörelse. Denna kurs ärtangentiell hastighet​ ​v_t​​,och är lika med rω,varrär radien eller avståndet från rotationsaxeln.

Relaterat,vinkelacceleration​ ​α(Grekisk alfa) är förändringshastigheten för vinkelhastighetenωoch mäts i rad / s². Det finns även encentripetal acceleration​ ​a_cgetts avv_t²/r,som riktas inåt mot rotationsaxeln.

• Medan man diskuterar vinkelmoment, motsvarar mvi linjära termer, kommer snart att diskuteras grundligt, vet att en av dess komponenter,Jag, kan ses på som en rotationsanalog av massa.

Vinkelmoment, som kraft, förskjutning, hastighet och acceleration, är avektorkvantitet, eftersom sådana variabler inkluderar både amagnitud(dvs. ett tal) och ariktning, ofta givna termer för dess enskilda x-, y- och z-komponenter. Mängder som endast innehåller ett numeriskt element, såsom massa, tid, energi och arbete, är kända somskalära mängder​.