Implicit differentiering är en teknik som används för att bestämma derivatet av en funktion i formen y = f (x).
För att lära oss hur man använder implicit differentiering kan vi använda metoden på ett enkelt exempel och sedan utforska några mer komplexa fall.
Implicit differentiering är bara differentiering
Även om det låter mer komplicerat använder implicit differentiering samma matematik och färdigheter som grundläggande differentiering. Det viktiga att notera är dock att vår beroende variabel nu dyker upp i själva funktionen.
Ta en enkel ekvation som xy = 1. Det finns två sätt att hitta derivatet av y med avseende på xeller dy / dx. Först kan vi helt enkelt lösa för y i ekvationen och använd kraftregeln för derivat. Att göra detta skulle ge: y = 1 / x. Att tillämpa effektregeln skulle därför avslöja att dy / dx = -1 / x2.
Vi kan också göra detta problem med implicit differentiering. Lyckligtvis vet vi redan svaret (det borde vara detsamma oavsett hur vi beräknar det), så vi kan kontrollera vårt arbete!
Till att börja med applicerar du derivatet på båda sidor av ekvationen xy = 1. Därefter d / dx (xy) = d / dx (1); tydligt är höger sida nu lika med 0, men vänster sida kräver kedjeregeln. Detta beror på att vi tar derivatet av vår funktion, y, medan den multipliceras med en annan faktor av x. För att beräkna detta: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Vi kommer att använda den primära notationen för att indikera ett derivat med avseende på x.
Omskrivning av våra ekvationsavkastningar: y + xy '= 0. Det är dags att lösa för y ' i vår ekvation! Det är uppenbart att y '= -y / x. Men med hjälp av den ursprungliga informationen vet vi att y = 1 / x, så att vi kan ersätta detta igen. När vi väl gjort det ser vi att y '= -1 / x2, precis som vi hittade tidigare.
Implicit differentiering för att bestämma derivat av synd (xy)
För att bestämma derivatet av y = sin (xy) använder vi implicit differentiering genom att komma ihåg att (d / dx) y = y '.
Tillämpa först derivatet på båda sidor av ekvationen: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Vänster sida av ekvationen är tydligt y ', vilket är vad vi kommer att behöva lösa för, men den högra sidan kräver lite arbete; specifikt kedjeregeln och produktregeln. Först måste kedjeregeln tillämpas på sin (xy) och sedan produktregeln för argumentet xy. Lyckligtvis beräknade vi redan denna produktregel.
Därefter ger förenklingen detta: y '= cos (xy) (y + xy').
Det är uppenbart att denna ekvation måste lösas för y ' för att avgöra hur y ' är relaterat till x och y.
Isolera alla termer med y ' på ena sidan: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).
Sedan faktor ut y ' för att få: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
Nu ser vi att y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).
Ytterligare förenkling är nödvändigt, men eftersom vår funktion är rekursivt definierad kommer plug-in i y = sin (xy) sannolikt inte att ge en tillfredsställande lösning. I detta fall kan mer information eller en mer sofistikerad metod för att plotta dessa ekvationer vara användbara.
Allmänna steg för implicit differentiering
Först, kom ihåg att implicit differentiering är beroende av att en av variablerna är en funktion av den andra. Vanligtvis ser vi funktioner som y = f (x), men man kan skriva en funktion x = f (y). Var försiktig när du närmar dig dessa problem för att avgöra vilken variabel som är beroende av den andra.
Kom sedan ihåg att noggrant tillämpa derivatregler. Implicit differentiering kräver kedjeregeln mycket ofta, liksom produktregeln och kvotregeln. Att använda dessa metoder korrekt är nödvändigt för att fastställa det slutliga svaret.
Slutligen lösa det önskade derivatet genom att isolera det och förenkla uttrycken så mycket som möjligt.