Euklidiskt avstånd är avståndet mellan två punkter i det euklidiska utrymmet. Det euklidiska rymden utformades ursprungligen av den grekiska matematikern Euklid omkring 300 f.v.t. att studera förhållandet mellan vinklar och avstånd. Detta geometriska system används fortfarande idag och är det som gymnasieelever studerar oftast. Euklidisk geometri gäller specifikt utrymmen med två och tre dimensioner. Det kan dock lätt generaliseras till högre ordningsdimensioner.
Beräkna det euklidiska avståndet för en dimension. Avståndet mellan två punkter i en dimension är helt enkelt det absoluta värdet av skillnaden mellan deras koordinater. Matematiskt visas detta som | p1 - q1 | där p1 är den första koordinaten för den första punkten och q1 är den första koordinaten för den andra punkten. Vi använder det absoluta värdet av denna skillnad eftersom avstånd normalt bara anses ha ett icke-negativt värde.
Ta två punkter P och Q i tvådimensionellt euklidiskt utrymme. Vi kommer att beskriva P med koordinaterna (p1, p2) och Q med koordinaterna (q1, q2). Konstruera nu ett linjesegment med slutpunkterna P och Q. Detta linjesegment kommer att bilda hypotenusen i en rätt triangel. Genom att utvidga resultaten som erhölls i steg 1 noterar vi att längderna på benen i denna triangel ges av | p1 - q1 | och | p2 - q2 |. Avståndet mellan de två punkterna ges sedan som längden på hypotenusen.
Använd Pythagoras sats för att bestämma längden på hypotenusen i steg 2. Denna sats säger att c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 där c är längden på en högra triangelns hypotenus och a, b är längderna på de andra två benen. Detta ger oss c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Avståndet mellan 2 punkter P = (p1, p2) och Q = (q1, q2) i tvådimensionellt utrymme är därför ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Utöka resultaten från steg 3 till ett tredimensionellt utrymme. Avståndet mellan punkterna P = (p1, p2, p3) och Q = (q1, q2, q3) kan sedan ges som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalisera lösningen i steg 4 för avståndet mellan två punkter P = (p1, p2,..., pn) och Q = (q1, q2,..., qn) i n-dimensioner. Denna allmänna lösning kan ges som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).