Како решити једначину квадратног корена

Квадратни корен броја је вредност која, када се помножи са собом, даје оригинални број. На пример, квадратни корен 0 је 0, квадратни корен 100 је 10, а квадратни корен 50 је 7.071. Понекад можете да откријете или се једноставно сетите квадратног корена броја који је сам по себи „савршени квадрат“, који је производ целог броја помноженог са самим собом; како напредујете кроз студије, вероватно ћете развити менталну листу ових бројева (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Проблеми који укључују квадратне корене незаменљиви су у инжењерству, рачунању и практично свим областима модерног света. Иако на мрежи можете лако пронаћи калкулаторе једначина квадратног корена (пример погледајте Ресурси), решавање једначина квадратног корена је важно вештина из алгебре, јер вам омогућава да се упознате са употребом радикала и радите са низом проблема изван подручја квадратних корена по себи.

Чињеница да множење два негативна броја заједно даје позитиван број је важна у свету квадратних корена јер подразумева да позитивни бројеви заправо имају два квадратна корена (на пример, квадратни корени од 16 су 4 и −4, чак и ако је само први интуитиван). Слично томе, негативни бројеви немају праве квадратне корене, јер не постоји стварни број који поприми негативну вредност када се помножи са собом. У овој презентацији негативни квадратни корен позитивног броја ће се занемарити, тако да се „квадратни корен од 361“ може узети као „19“, а не „−19 и 19.“

Такође, када покушавате да процените вредност квадратног корена када ниједан калкулатор није при руци, важно је схватити да функције које укључују квадрате и квадратне корене нису линеарне. О овоме ћете видети више у одељку о графиконима касније, али као груби пример већ сте приметили да је квадратни корен од 100 10, а квадратни корен од 0 0. На први поглед, ово би вас могло навести да претпоставите да квадратни корен за 50 (што је на пола између 0 и 100) мора бити 5 (што је на пола између 0 и 10). Али такође сте већ научили да је квадратни корен 50 7,071.

Коначно, можда сте усвојили идеју да множењем два броја заједно добијете број већи од себе, подразумевајући да су квадратни корени бројева увек мањи од оригинала број. Ово није случај! Бројеви између 0 и 1 такође имају квадратне корене и у сваком случају је квадратни корен већи од оригиналног броја. То се најлакше показује помоћу разломака. На пример, 16/25, или 0,64, има савршени квадрат и у бројнику и у називнику. То значи да је квадратни корен разломка квадратни корен његових горњих и доњих компоненти, што је 4/5. То је једнако 0,80, већи број од 0,64.

„Квадратни корен изИкс"обично се пише користећи оно што се назива радикални знак или само радикал (√). Тако за било којиИкс​:

представља његов квадратни корен. Преокрећући ово, квадрат бројаИксје написано помоћу експонента 2 (Икс​²). Експоненти узимају натписе за обраду текста и сродне апликације, а називају се и овлашћењима. Будући да радикалне знакове није увек лако произвести на захтев, још један начин писања „квадратног корена изИкс"је користити експонент:

Ово је пак део опште шеме:

значи „подићиИксна моћг., онда узми 'з„корен тога“.Икс​^1/2 тако значи „подићиИксдо прве моћи, што је једноставноИкспоново, а затим узмите његов 2 корен или квадратни корен. "Проширујући ово,Икс​^(5/3) значи „подићиИксдо степена 5, затим пронађите трећи корен (или корен корена) резултата. "

Радикали се могу користити за представљање корена који није квадратни корен. То се постиже једноставним додавањем натписа у горњем левом углу радикала.

онда представља исти број каоИкс​^(5/3) из претходног става чини.

Већина квадратних корена су ирационални бројеви. То значи да не само да нису лепе, уредне целобројне вредности (нпр. 1, 2, 3, 4.. .), али се такође не могу изразити као уредан децимални број који се завршава без потребе за заокруживањем. Рационални број може се изразити разломком. Дакле, иако 2,75 није цео број, то је рационалан број, јер је иста ствар као разломак 11/4. Раније су вам рекли да је квадратни корен 50 7,071, али ово је заправо заокружено са бесконачног броја децималних места. Тачна вредност √50 је 5√2 и видећете како ће се то ускоро утврдити.

Већ сте видели да су једначине у укључивању квадрата и квадратних корена нелинеарне. Једноставан начин да се ово запамти је да графикони решења ових једначина нису праве. То има смисла, јер ако је, као што је напоменуто, квадрат 0 0, а квадрат 10 100, али квадрат од 5 није 50, графикон који настаје једноставним квадрирањем броја мора да закриви пут до тачног вредности.

То је случај са графиконом

као што и сами можете видети ако посетите калкулатор у Ресурсима и промените параметре. Права пролази кроз тачку (0,0), а и не иде испод 0, што бисте требали очекивати јер то знатеИкс​² никада није негативан. Такође можете видети да је графикон симетричан оког.-ос, што такође има смисла јер је сваки позитиван квадратни корен датог броја праћен негативним квадратним кореном једнаке величине. Стога, са изузетком 0, свакиг.вредност на графиконуг.​ = ​Икс​² је повезан са дваИкс-вредности.

Један од начина за ручно решавање основних проблема квадратног корена је тражење савршених квадрата "скривених" унутар проблема. Прво, важно је знати неколико виталних својстава квадрата и квадратних корена. Једно од њих је то, баш као и √Икс​² је једноставно једнакоИкс(јер се радикал и експонент међусобно поништавају):

Односно, ако имате савршен квадрат под радикалом множењем другог броја, можете га „извући“ и користити као коефицијент онога што остаје. На пример, враћање на квадратни корен 50

Понекад можете завршити бројем који укључује квадратне корене и који се изражава разломком, али је и даље ирационалан број, јер називник, бројилац или обоје садрже радикал. У таквим случајевима може се затражити да рационализујете називник. На пример, број

има радикал и у бројнику и у називнику. Али након што проучите „45“, можда ћете је препознати као производ 9 и 5, што значи да

Стога се разломак може записати

Радикали се међусобно поништавају, а ви остајете са 6/3 = 2.