Алгебра често укључује поједностављивање израза, али неки изрази су збуњујући од других. Комплексни бројеви укључују количину познату каои, „замишљени“ број са својствоми= √−1. Ако морате једноставно да израз укључује сложени број, то може изгледати застрашујуће, али то је прилично једноставан процес када научите основна правила.
ТЛ; ДР (предуго; Нисам прочитао)
Поједноставите комплексне бројеве пратећи правила алгебре са комплексним бројевима.
Шта је комплексни број?
Комплексни бројеви су дефинисани њиховим укључивањемипојам, што је квадратни корен из минус један. У основној математици квадратни корени негативних бројева заправо не постоје, али се повремено појављују у задацима из алгебре. Општи облик комплексног броја показује њихову структуру:
з = а + би
Гдезозначава комплексни број,апредставља било који број (који се назива „стварни“ део) ибпредставља други број (који се назива „замишљени“ део), а оба могу бити позитивна или негативна. Дакле, пример сложеног броја је:
з = 2 −4и
Будући да сви квадратни корени негативних бројева могу бити представљени вишекратницима од
Основна правила за алгебру са сложеним бројевима
Да бисте сабирали и одузимали сложене бројеве, једноставно додајте или одузмите стварни и замишљени део одвојено. Дакле, за сложене бројевез = 2 – 4иив = 3 + 5и, збир је:
\ почетак {поравнато} з + в & = (2 - 4и) + (3 + 5и) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) и \\ & = 5 + 1и \\ & = 5 + и \ крај {поравнато}
Одузимање бројева делује на исти начин:
\ почетак {поравнато} з- в & = (2 - 4и) - (3 + 5и) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) и \\ & = -1 -9и \ крај {поравнато }
Множење је још једна једноставна операција са сложеним бројевима, јер ради као обично множење, само што то морате упамтитии2 = −1. Па да израчунамо 3и × −4и:
3и × -4и = -12и ^ 2
Али какои2= -1, тада:
-12и ^ 2 = -12 × -1 = 12
Са пуним комплексним бројевима (користећиз = 2 – 4иив = 3 + 5иопет), множите их на исти начин као и обичним бројевима попут (а + б) (ц + д), користећи методу „прва, унутрашња, спољна, последња“ (ФОИЛ), да би се (а + б) (ц + д) = ац + пре нове ере + ад + бд. Све чега морате да се сетите је да поједноставите све примереи2. Тако на пример:
\ почетак {поравнато} з × в & = (2 -4и) (3 + 5и) \\ & = (2 × 3) + (-4и × 3) + (2 × 5и) + (−4и × 5и) \ \ & = 6 -12и + 10и - 20и ^ 2 \\ & = 6 -2и + 20 \\ & = 26 + 2и \ крај {поравнато}
Дељење сложених бројева
Дељење комплексних бројева подразумева множење бројила и називника разломка сложеним коњугатом називника. Сложени коњугат само значи верзију комплексног броја са замишљеним делом обрнутим у знак. Тако заз = 2 – 4и, сложени коњугатз = 2 + 4и, а зав = 3 + 5и, в = 3 −5и. За проблем:
\ фрац {з} {в} = \ фрац {2 -4и} {3 + 5и}
Коњугат потребан јев*. Поделите бројилац и називник са овим да бисте добили:
\ фрац {з} {в} = \ фрац {(2 -4и) (3 -5и)} {(3 + 5и) (3-5и)}
И онда разрадите као у претходном одељку. Бројилац даје:
\ почетак {поравнато} (2 -4и) (3 -5и) & = 6 -12и- 10и + 20и ^ 2 \\ & = -14-22и \ крај {поравнато}
А именитељ даје:
\ почетак {поравнато} (3 + 5и) (3-5и) & = 9 + 15и - 15и -25и ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ крај {поравнато}
Ово значи:
\ почетак {поравнато} \ фрац {з} {в} & = \ фрац {-14 - 22и} {34} \\ \, \\ & = \ фрац {-14} {34} - \ фрац {22и} { 34} \\ \, \\ & = \ фрац {-7} {17} - \ фрац {11и} {17} \ крај {поравнато}
Поједностављивање сложених бројева
Користите горња правила по потреби за поједностављивање сложених израза. На пример:
з = \ фрац {(4 + 2и) + (2 -и)} {(2 + 2и) (2+ и)}
Ово се може поједноставити коришћењем правила сабирања у бројилу, правила множења у имениоцу, а затим довршавањем дељења. За бројник:
(4 + 2и) + (2 - и) = 6 + и
За називник:
\ почетак {поравнато} (2 + 2и) (2+ и) & = 4 + 4и + 2и + 2и ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6и \\ & = 2 + 6и \ крај {поравнато}
Враћање ових на место даје:
з = \ фрац {6 + и} {2 + 6и}
Множењем оба дела коњугатом умањеника долази се до:
\ почетак {поравнато} з & = \ фрац {(6 + и) (2 - 6и)} {(2 + 6и) (2 -6и)} \\ \, \\ & = \ фрац {12 + 2и -36и -6и ^ 2} {4 + 12и -12и -36и ^ 2} \\ \, \\ & = \ фрац {18 - 34и} {40} \\ \, \\ & = \ фрац {9 - 17и} {20} \\ \, \\ & = \ фрац {9} {20} - \ фрац {17и} {20} \\ \ крај {поравнато}
Дакле, ово значизпоједностављује на следећи начин:
\ почетак {поравнато} з & = \ фрац {(4 + 2и) + (2 - и)} {(2 + 2и) (2+ и)} \\ & = \ фрац {9} {20} - \ фрац {17и} {20} \\ \ крај {поравнато}