Сваки студент алгебре на вишим нивоима мора да научи да решава квадратне једначине. Ово је врста полиномске једначине која укључује снагу 2, али ниједну већу и имају општи облик:секира2 + бк + ц= 0. То можете решити употребом формуле квадратне једначине, факторизирањем или попуњавањем квадрата.
ТЛ; ДР (предуго; Нисам прочитао)
Прво потражите факторизацију за решавање једначине. Ако не постоји ниједан осимбкоефицијент је дељив са 2, попуните квадрат. Ако ниједан приступ није лак, користите формулу квадратне једначине.
Коришћење факторизације за решавање једначине
Факторизација користи чињеницу да је десна страна стандардне квадратне једначине једнака нули. То значи да ако можете поделити једначину на два члана у заградама помноженим међусобно, решења можете разрадити размишљајући о томе шта би сваку заграду имало једнако нули. Дати конкретан пример:
к ^ 2 + 6к + 9 = 0
Упоредите ово са стандардним обрасцем:
секира ^ 2 + бк + ц = 0
У примеру,а = 1, б= 6 иц= 9. Изазов факторизирања је проналажење два броја која се збрајају да би се добио број у
буочите и помножите заједно да бисте добили број на месту зац.Дакле, представљајући бројеве помоћудие, тражите бројеве који задовољавају:
д + е = б
Или у овом случају, саб = 6:
д + е = 6
И
д × е = ц
Или у овом случају, сац = 9:
д × е = 9
Фокусирајте се на проналажење бројева који су факториц, а затим их саберите да бисте видели да ли се поклапајуб. Кад имате бројеве, ставите их у следећи формат:
(к + д) (к + д)
У горњем примеру обадиесу 3:
к ^ 2 + 6к + 9 = (к + 3) (к + 3) = 0
Ако помножите заграде, поново ћете добити оригинални израз, а ово је добра пракса да проверите своју факторизацију. Можете да прођете кроз овај поступак (множењем првог, унутрашњег, спољног, а затим последњег дела заграда - погледајте Ресурсе за више детаља) да бисте га видели обрнуто:
\ почетак {поравнато} (к + 3) (к + 3) & = (к × к) + (3 × к) + (к × 3) + (3 × 3) \\ & = к ^ 2 + 3к + 3к + 9 \\ & = к ^ 2 + 6к + 9 \\ \ крај {поравнато}
Факторизација ефикасно пролази кроз овај процес обрнуто, али може бити изазов разрадити прави начин за израчунавање квадратне једначине, а ова метода није идеална за сваку квадратну једначину за ово разлог. Често морате погодити факторизацију, а затим је проверити.
Проблем је сада у томе што се било који израз у заградама изједначи са нулом кроз ваш избор вредности заИкс. Ако је било која заграда једнака нули, цела једначина једнака је нули и ви сте нашли решење. Погледајте последњу фазу [(Икс + 3) (Икс+ 3) = 0] и видећете да се заграде за нулу изводе једино акоИкс= −3. У већини случајева, квадратне једначине имају два решења.
Факторизација је још изазовнија акоаније једнако јединици, али фокусирање на једноставне случајеве је у почетку боље.
Довршавање квадрата за решавање једначине
Попуњавање квадрата помаже вам да решите квадратне једначине које се не могу лако факторизирати. Ова метода може радити за било коју квадратну једначину, али неке једначине јој више одговарају него другима. Приступ укључује израду израза у савршени квадрат и његово решавање. Генерички савршени квадрат шири се овако:
(к + д) ^ 2 = к ^ 2 + 2дк + д ^ 2
Да бисте решили квадратну једначину допуњавањем квадрата, пренесите израз у облик на десној страни горе наведеног. Прво поделите број убпозиционирати са 2, а затим квадрат резултат. Дакле, за једначину:
к ^ 2 + 8к = 0
Коефицијентб= 8, даклеб÷ 2 = 4 и (б ÷ 2)2 = 16.
Додајте ово на обе стране да бисте добили:
к ^ 2 + 8к + 16 = 16
Имајте на уму да се овај образац подудара са савршеним квадратним обликом, сад= 4, дакле 2д= 8 ид2 = 16. То значи да:
к ^ 2 + 8к + 16 = (к + 4) ^ 2
Убаците ово у претходну једначину да бисте добили:
(к + 4) ^ 2 = 16
Сада решите једначину заИкс. Узмите квадратни корен обе стране да бисте добили:
к + 4 = \ скрт {16}
Одузмите 4 са обе стране да бисте добили:
к = \ скрт {16} - 4
Корен може бити позитиван или негативан, а узимање негативног корена даје:
к = -4 - 4 = -8
Пронађите друго решење са позитивним кореном:
к = 4 - 4 = 0
Стога је једино нула решење −8. Потврдите ово оригиналним изразом.
Коришћење квадратне формуле за решавање једначине
Формула квадратне једначине изгледа сложеније од осталих метода, али је најпоузданија метода и можете је користити на било којој квадратној једначини. Једначина користи симболе из стандардне квадратне једначине:
секира ^ 2 + бк + ц = 0
И наводи да:
к = \ фрац {-б ± \ скрт {б ^ 2 - 4ац}} {2а}
Уметните одговарајуће бројеве на њихова места и радите кроз формулу за решавање, сећајући се да покушате да одузмете и додате квадратни корен и забележите оба одговора. За следећи пример:
к ^ 2 + 6к + 5 = 0
Имаша = 1, б= 6 иц= 5. Дакле, формула даје:
\ почетак {поравнато} к & = \ фрац {-6 ± \ скрт {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ фрац {-6 ± \ скрт {36 - 20} } {2} \\ & = \ фрац {-6 ± \ скрт {16}} {2} \\ & = \ фрац {-6 ± 4} {2} \ крај {поравнато}
Узимање позитивног предзнака даје:
\ почетак {поравнато} к & = \ фрац {-6 + 4} {2} \\ & = \ фрац {-2} {2} \\ & = -1 \ крај {поравнато}
А узимање негативног предзнака даје:
\ почетак {поравнато} к & = \ фрац {-6 - 4} {2} \\ & = \ фрац {-10} {2} \\ & = -5 \ крај {поравнато}
Која су два решења за једначину.
Како одредити најбољи метод за решавање квадратних једначина
Потражите факторизацију пре него што покушате било шта друго. Ако можете да га уочите, ово је најбржи и најлакши начин за решавање квадратне једначине. Запамтите да тражите два броја која се збрајају убкоефицијент и помножите дајућицкоефицијент. За ову једначину:
к ^ 2 + 5к + 6 = 0
Можете уочити да је 2 + 3 = 5 и 2 × 3 = 6, па:
к ^ 2 + 5к + 6 = (к + 2) (к + 3) = 0
ИИкс= −2 илиИкс = −3.
Ако не видите факторизацију, проверите да ли јебкоефицијент је дељив са 2 без прибегавања разломцима. Ако јесте, попуњавање квадрата је вероватно најлакши начин за решавање једначине.
Ако се ниједан од ових приступа не чини погодним, користите формулу. Ово се чини најтежим приступом, али ако сте на испиту или сте на неки други начин притиснути време, то може учинити процес много мање стресним и много бржим.