Разлика између класичне механике и квантне механике је огромна. Док у класичној механици честице и предмети имају јасно дефинисане положаје, у квантној механици (пре мерења) а може се рећи да честица има само низ могућих положаја, које талас описује у терминима вероватноће функцију.
Сцхродингерова једначина дефинише таласну функцију квантних механичких система, а учење како се користи и тумачи важан је део сваког курса из квантне механике. Један од најједноставнијих примера решења ове једначине је за честицу у кутији.
Таласна функција
У квантној механици честица је представљена саталасна функција. Ово се обично означава грчким словом пси (Ψ) и зависи и од положаја и од времена и садржи све што се о честици може знати.
Модул ове функције на квадрат говори вам вероватноћу да ће се честица наћи на положајуИксна времет, под условом да је функција „нормализована“. То само значи прилагођено тако да се сигурно може наћи нанекиположајИксу то времеткада се резултати на свакој локацији сумирају, тј. услов нормализације каже да:
\ инт _ {- \ инфти} ^ \ инфти \ вертΨ \ верт ^ 2 = 1
Помоћу таласне функције можете израчунати вредност очекивања за положај честице у временут, где вредност очекивања само значи просечну вредност за коју бисте добилиИксако сте мерење поновили већи број пута. Наравно, то не значи да ће то бити резултат који бисте добили за било које дато мерење - тјефикаснонасумичне, иако су неке локације обично знатно вероватније од других.
Постоје многе друге величине за које можете израчунати вредности очекивања, као што су импулс и вредности енергије, као и многе друге „видљиве“.
Сцхродингерова једначина
Сцхродингерова једначина је диференцијална једначина која се користи за проналажење вредности за таласну функцију и сопствених стања за енергију честице. Једначина се може извести из очувања енергије и израза за кинетичку и потенцијалну енергију честице. Најједноставнији начин да се напише је:
Х (Ψ) = иℏ \ фрац {\ делимичноΨ} {\ делимично т}
Али овдеХ.представљаХамилтонов оператор, што је само по себи прилично дугачак израз:
Х = \ фрац {−ℏ} {2м} \ фрац {\ делимично ^ 2} {\ делимично к ^ 2} + В (к)
Ево,мје маса, ℏ је Планцкова константа подељена са 2π, иВ. (Икс) је општа функција за потенцијалну енергију система. Хамилтонијан има два различита дела - први члан је кинетичка енергија система, а други члан је потенцијална енергија.
Свака уочљива вредност у квантној механици повезана је са оператором, а у временски неовисној верзији Сцхродингерове једначине Хамилтониан је енергетски оператер. Међутим, у временски зависној верзији приказаној горе, Хамилтониан такође генерише временску еволуцију таласне функције.
Комбинујући све информације садржане у једначини, можете описати еволуцију честице у простору и времену и предвидети могуће енергетске вредности и за њу.
Временски независна Сцхродингерова једначина
Временски зависан део једначине може се уклонити - да би се описала ситуација која се не развија временом - раздвајањем таласне функције на простор и временске делове:Ψ(Икс, т) = Ψ(Икс) ф(т). Временски зависни делови се тада могу поништити из једначине, што оставља временски неовисну верзију Сцхродингерове једначине:
Х Ψ (к) = Е (Ψ (к))
Е.је енергија система. Ово има тачан облик једначине сопствених вредности, саΨ(Икс) која је сопствена функција, иЕ.будући да је сопствена вредност, због чега се временски неовисна једначина често назива једначина сопствене вредности за енергију квантног механичког система. Временска функција је једноставно дата са:
ф (т) = е ^ {- иЕт / ℏ}
Једначина независна од времена корисна је јер поједностављује прорачуне за многе ситуације у којима еволуција времена није нарочито пресудна. Ово је најкориснији облик за проблеме „честица у кутији“, па чак и за одређивање нивоа енергије електрона око атома.
Честица у кутији (бесконачни квадратни бунар)
Једно од најједноставнијих решења временски независне Сцхродингерове једначине је за честицу у бескрајно дубок квадратни бунар (тј. бесконачно потенцијални бунар) или једнодимензионални оквир базе дужинаЛ. Наравно, ово су теоријске идеализације, али даје основну идеју о томе како решавате Сцхродингерову једначину без урачунавања многих компликација које постоје у природи.
Са потенцијалном енергијом постављеном на 0 изван бунара где је густина вероватноће такође 0, Сцхродингерова једначина за ову ситуацију постаје:
\ фрац {−ℏ ^ 2} {2м} \ фрац {д ^ 2Ψ (к)} {дк ^ 2} = Е Ψ (к)
А опште решење за једначину овог облика је:
Ψ (к) = А \ син (кк) + Б \ цос (кк)
Међутим, гледање на граничне услове може помоћи да се ово сузи. ЗаИкс= 0 иИкс= Л, тј. Странице кутије или зидови бунара, таласна функција мора да иде на нулу. Косинусна функција има вредност 1 када је аргумент 0, тако да је за испуњење граничних услова константаБ.мора бити једнако нули. Ово оставља:
Ψ (к) = А \ син (кк)
Такође можете да користите граничне услове да бисте поставили вредност зак. Пошто функција греха иде на нулу при вредностиманπ, где је квантни бројн= 0, 1, 2, 3... и тако даље, то значи кадаИкс = Л, једначина ће функционисати само акок = нπ / Л. Коначно, можете користити чињеницу да таласна функција мора бити нормализована да бисте пронашли вредностА.(интегрирати у све могућеИксвредности, односно од 0 доЛ, а затим подесите резултат једнак 1 и преуредите), да бисте дошли до коначног израза:
Ψ (к) = \ скрт {\ фрац {2} {Л}} \ син \ бигг (\ фрац {нπ} {Л} к \ бигг)
Користећи оригиналну једначину и овај резултат, можете затим решити заЕ., што даје:
Е = \ фрац {н ^ 2ℎ ^ 2} {8мЛ ^ 2}
Имајте на уму да чињеница данје у овом изразу значи да су нивои енергијеквантизовано, па не могу да поднесубило којивредност, већ само дискретни скуп специфичних вредности нивоа енергије у зависности од масе честице и дужине кутије.
Честица у кутији (Коначни квадратни бунар)
Исти проблем постаје мало компликованији ако потенцијални бунар има коначну висину зида. На пример, ако потенцијалВ. (Икс) узима вредностВ.0 изван потенцијалног бунара и 0 унутар њега, таласна функција се може одредити у три главна региона покривена проблемом. Међутим, ово је процес који је више укључен, па ћете овде моћи само да видите резултате, а не да прођете кроз цео процес.
Ако је бунар наИкс= 0 доИкс = Лопет, за регион гдеИкс<0 решење је:
Ψ (к) = Бе ^ {кк}
За регионИкс > Л, То је:
Ψ (к) = Ае ^ {- кк}
Где
к = \ скрт {\ фрац {2ме} {ℏ ^ 2}}
За регион унутар бунара, где је 0 <Икс < Л, опште решење је:
Ψ (к) = Ц \ син (шк) + Д \ цос (шк)
Где
в = \ скрт {\ фрац {-2м (Е + В_0)} {ℏ ^ 2}}
Тада можете да користите граничне услове за одређивање вредности константиА., Б., Ц.иД., уз напомену да, поред тога што имају дефинисане вредности на зидовима бунара, таласна функција и њен први дериват морају бити свуда континуирани, а таласна функција свуда коначна.
У другим случајевима, као што су плитке кутије, уске кутије и многе друге специфичне ситуације, постоје апроксимације и различита решења која можете пронаћи.
