Производ две скаларне величине је скалар, а производ скалара са вектором је вектор, али шта је са производом два вектора? Да ли је скалар или неки други вектор? Одговор је, могао би бити и један и други!
Постоје два начина за узимање векторског производа. Једна је узимајући њихов тачкасти производ, који даје скалар, а друга је узимајући њихов унакрсни производ, који даје други вектор. Који се производ користи зависи од конкретног сценарија и које количине покушавате да пронађете.
Унакрсни производ два вектора даје трећи вектор који показује у правцу окомитом на раван обухваћена са два вектора, а чија величина зависи од релативне окомитости два вектори.
Дефиниција унакрсног производа вектора
Прво дефинишемо унакрсни умножак јединичних вектораи, јик(вектори магнитуде 1 који су тачка ук-, и-из-компонентни правци стандардног картезијанског координатног система) како следи:
\ болд {и \ тимес ј} = \ болд {к} \\ \ болд {ј \ тимес к} = \ болд {и} \\ \ болд {к \ тимес и} = \ болд {ј} \\ \ болд {и \ пута и} = \ подебљано {ј \ пута ј} = \ подебљано {к \ пута к} = 0
Имајте на уму да су ови односи анти-комутативни, односно ако променимо редослед вектора из којих узимамо производ, то окреће знак производа:
\ болд {ј \ пута и} = - \ болд {к} \\ \ болд {к \ тимес ј} = - \ болд {и} \\ \ болд {и \ тимес к} = - \ болд {ј}
Горе наведене дефиниције можемо користити за извођење формуле за унакрсни умножак два тродимензионална вектора. Прво напишите вектореаибкао што следи:
\ болд {а} = (а_к, а_и, а_з) = а_к \ болд {и} + а_и \ болд {ј} + а_з \ болд {к} \\ \ болд {б} = (б_к, б_и, б_з) = б_к \ болд {и} + б_и \ болд {ј} + б_з \ болд {к}
Множењем два вектора добијамо:
\ болд {а \ пута б} = (а_к \ болд {и} + а_и \ болд {ј} + а_з \ болд {к}) \ пута (б_к \ болд {и} + б_и \ болд {ј} + б_з \ подебљано {к}) \\ = а_кб_к \ болд {и \ пута и} + а_кб_и \ болд {и \ пута ј} + а_кб_з \ болд {и \ пута к} \\ + а_иб_к \ болд {ј \ тимес и} + а_иб_и \ болд {ј \ тимес ј} + а_иб_з \ болд {ј \ тимес к} \\ + а_зб_к \ болд {к \ пута и} + а_зб_и \ болд {к \ пута ј} + а_зб_з \ болд {к \ пута к}
Затим, користећи горње односе јединичних вектора, ово поједностављује на:
\ болд {а \ тимес б} = а_кб_и \ болд {и \ тимес ј} - а_кб_з \ болд {к \ тимес и} - а_иб_к \ болд {и \ тимес ј} + а_иб_з \ болд {ј \ тимес к} + а_зб_к \ болд {к \ пута и} - а_зб_и \ болд {ј \ пута к} \\ = (а_кб_и - а_иб_к) \ болд {и \ пута ј} + (а_зб_к - а_кб_з) \ болд {к \ тимес и} + (а_иб_з - а_зб_и) \ болд {ј \ тимес к} \\ = (а_иб_з - а_зб_и) \ болд { и} + (а_зб_к - а_кб_з) \ болд {ј} + (а_кб_и - а_иб_к) \ болд {к}
(Имајте на уму да су изрази чији је унакрсни производ 0, изрази који чине тачкасти производ (који се назива и скаларни производ)!Ово није случајно.)
Другим речима:
\ болд {а \ пута б} = \ болд {ц} = (ц_к, ц_и, ц_з) \ тект {где} \\ ц_к = а_иб_з - а_зб_и \\ ц_и = а_зб_к - а_кб_з \\ ц_з = а_кб_и - а_иб_к
Величина унакрсног производа може се наћи помоћу Питагорине теореме.
Формула унакрсних производа може се изразити и као одредница следеће матрице:
\ болд {а \ тимес б} = \ Бигг | \ бегин {матрица} \ болд {и} & \ болд {ј} & \ болд {к} \\ а_к & а_и & а_з \\ б_к & б_и & б_з \ енд {матрица} \ Бигг | \\ = \ Велико | \ започни {матрица} а_и & а_з \\ б_и & б_з \ енд {матрица} \ Велики | \ болд {и} - \ Велики | \ почетак {матрица} а_к & а_з \\ б_к & б_з \ енд {матрица} \ Велики | \ болд {ј} + \ Велики | \ почетак {матрица} а_к & а_и \\ б_к & б_и \ крај {матрица} \ Велико | \ болд {к}
\ тект {Где је одредница} \ Велико | \ започиње {матрица} а & б \\ ц & д \ крај {матрица} \ Велико | = ад - пне
Друга, често врло погодна формулација унакрсног производа је (за крај погледајте овај чланак):
\ болд {а × б} = | \ болд {а} | | \ подебљано {б} | \ син (θ) \ подебљано {н}
Где:
- |а|. | је величина (дужина) вектораа
- |б|. | је величина (дужина) вектораб
- θ је угао између аи б
- нје јединични вектор окомит на раван обухваћену за аиб
Окомити вектори и правило десне руке
У опису попречног производа наведено је да је правац попречног производа окомит на раван обухваћену векторомаи векторб. Али ово оставља две могућности: Можда указујеодавион илиураван обухваћен тим векторима. Стварност је таква да заправо можемо одабрати било шта док смо доследни. Фаворизирани правац који су изабрали и математичари и научници, одређује нешто што се називаправило десне руке.
Да бисте одредили правац векторског производа користећи правило десне руке, усмерите кажипрст десне руке у смер векторааа средњи прст у смеру вектораб. Палац затим показује у смеру вектора унакрсних производа.
Понекад је ове правце тешко приказати на равном папиру, па се често доносе следеће конвенције:
Да бисмо означили вектор који улази у страницу, цртамо круг са Кс у њему (замислите ово као представљање репног пераја на крају стрелице док га гледате позади). Да бисмо означили вектор који иде у супротном смеру од странице, цртамо круг са тачком (замислите ово као врх стрелице која показује према страници).
•••на
Особине унакрсног производа
Следи неколико својстава векторског унакрсног производа:
\ # \ текст {1. Ако су} \ болд {а} \ тект {и} \ болд {б} \ тект {паралелне, онда} \ болд {а \ тимес б} = 0
\ # \ текст {2. } \ болд {а \ пута б} = - \ болд {б \ пута а}
\ # \ текст {3. } \ болд {а \ тимес (б + ц)} = \ болд {а \ тимес б} + \ болд {а \ тимес ц}
\ # \ текст {4. } (ц \ болд {а) \ пута б} = ц (\ болд {а \ пута б})
\ # \ текст {5. } \ болд {а \ цдот (б \ пута ц}) = \ болд {(а \ пута б) \ цдот ц}
\ тект {Где} \ болд {а \ цдот (б \ пута ц}) = \ Бигг | \ бегин {матрица} а_к & а_и & а_з \\ б_к & б_и & б_з \\ ц_к & ц_и & ц_з \ енд {матрица } \ Бигг |
Геометријска интерпретација унакрсног производа
Када се векторски унакрсни производ формулише у смислу греха (θ), његова величина се може протумачити као представљање површине паралелограма обухваћеног са два вектора. То је зато што заа × б, |б| син (θ) = висина паралелограма, као што је приказано, и |а|. | је основа.
•••Дана Цхен | Научити
Величина троструког производа вектораа (б × ц) може заузврат да се протумачи као запремина паралелепипеда распона вектораа, биц. То је зато(б × ц) даје вектор чија је величина површина обухваћена векторомби векторц, а чији је правац окомит на то подручје. Узимајући тачкасти производ векторааса овим резултатом у основи множи основну површину пута висину.
Примери
Пример 1:Сила на честици наелектрисањаккрећући се брзиномву магнетном пољуБ.даје:
\ болд {Ф} = к \ болд {в \ пута Б}
Претпоставимо да електрон пролази кроз магнетно поље од 0,005 Т брзином 2 × 107 Госпођа. Ако пролази окомито кроз поље, тада ће сила коју ће осетити бити:
\ болд {Ф} = к \ болд {в \ пута Б} = квБ \ син (\ тхета) \ болд {н} = (-1.602 \ пута 10 ^ {19}) (2 \ пута 10 ^ 7) (0,005 ) \ син (90) \ болд {н} = -1.602 \ пута 10 ^ {- 14} \ тект {Н} \ болд {н}
Међутим, ако електрон путује паралелно са пољем, тада је θ = 0, а син (0) = 0, чинећи силу 0.
Имајте на уму да ће за електрон који пролази окомито кроз поље ова сила проузроковати да се креће кружном путањом. Радијус ове кружне путање може се наћи подешавањем магнетне силе једнаке центрипеталној сили и решавањем радијусар:
Ф_ {маг} = квБ \ син (90) = квБ = \ фрац {мв ^ 2} {р} = Ф_ {цент} \\ \ подразумева р = \ фрац {мв} {кБ}
За горњи пример, укључивањем бројева добија се радијус од око 0,0227 м.
Пример 2:Обртни моменат физичке величине такође се израчунава помоћу векторског унакрсног производа. Ако силаФпримењује се на објекат на положајурод тачке окретања, обртни моменатτо тачки окретања дато је:
\ подебљано {\ тау} = \ подебљано {р \ пута Ф}
Размотримо ситуацију у којој се сила 7 Н примењује под углом на крај шипке од 0,75 чији је други крај причвршћен за осовину. Угао измеђуриФје 70 степени, тако да се обртни моменат може израчунати:
\ болд {\ тау} = \ болд {р \ пута Ф} = рФ \ син (\ тхета) = (0,75) (7) \ син (70) \ болд {н} = 4,93 \ тект {Нм} \ болд { н}
Правац обртног момента,н, налази се путем правила за десну руку. Ако се примени на горњу слику, ово даје смер који излази са странице или екрана. Генерално, обртни моменат примењен на објекат желеће да се предмет ротира. Вектор обртног момента увек ће лежати у истом смеру као и ос ротације.
У ствари, у овом случају се може користити поједностављено правило десне руке: Користите десну руку да „зграбите“ ос ротације у на такав начин да се прсти увијају у смеру у коме ће повезани обртни моменат изазвати ротацију предмета. Палац тада показује у правцу вектора обртног момента.
Извођење формуле унакрсних производа
\ тект {Овде ћемо показати како формула за више производа} \ болд {а × б} = | \ болд {а} | | \ подебљано {б} | \ син (θ) \ болд {н} \ тект {може се извести.}
Размотримо два векторааибса угломθизмеђу њих. Правоугли троугао се може обликовати цртањем линије са врха вектораадо окомите додирне тачке на векторб.
Користећи Питагорину теорему, добијамо следећи однос:
\ Велики | \ Велики (\ фрац {\ болд {а \ цдот б}} {| \ болд {б} | ^ 2} \ Велики) \ болд {б} \ Велики | ^ 2 + (| \ болд {а} | \ син (\ тхета)) ^ 2 = | \ подебљано {а} | ^ 2
\ тект {Где} \ Велико (\ фрац {\ болд {а \ цдот б}} {| \ болд {б} | ^ 2} \ Велико) \ болд {б} \ тект {је пројекција вектора} \ болд {а} \ текст {на вектор} \ болд {б}.
Поједностављујући израз, добијамо следеће:
\ фрац {| \ болд {а \ цдот б} | ^ 2} {| \ болд {б} | ^ 2} + | \ болд {а} | ^ 2 \ син ^ 2 (\ тхета) = | \ болд { а} | ^ 2
Даље, помножите обе стране једначине са |б|2 и померите први члан на десну страну да бисте добили:
| \ болд {а} | ^ 2 | \ болд {б} | ^ 2 \ син ^ 2 (\ тхета) = | \ болд {а} | ^ 2 | \ болд {б} | ^ 2 - | болд а \ цдот б} | ^ 2
Радећи са десне стране, помножите све, а затим поједноставите:
| \ болд {а} | ^ 2 | \ болд {б} | ^ 2 - | \ болд {а \ цдот б} | ^ 2 = [(а_к) ^ 2 + (а_и) ^ 2 + (а_з) ^ 2 ] [(б_к) ^ 2 + (б_и) ^ 2 + (б_з) ^ 2] \\ - (а_кб_к + а_иб_и + а_зб_з) (а_кб_к + а_иб_и + а_зб_з) \\ = (а_кб_и) ^ 2 + (а_кб_з) ^ 2 + (а_иб_к) ^ 2 + (а_иб_з) ^ 2 + (а_зб_к) ^ 2 + а_зб_и) ^ 2 \\ - 2а_ка_иб_кб_и - 2а_ка_зб_кб_з - 2а_иа_зб_иб_з \\ = (а_иб_з - а_з_к___________________________ (а_кб_и - а_иб_к) ^ 2 \\ = | \ подебљано {а \ пута б} | ^ 2
Постављањем резултата једнаког левој страни претходне једначине, добићемо следећи однос:
| \ подебљано {а \ пута б} | = | \ болд {а} || \ болд {б} || \ син (\ тхета) |
То нам показује да су величине исте у формули, па је последње што треба урадити да бисмо доказали формулу показати да су правци такође исти. То се може учинити једноставним узимањем тачкастих производа одасаа × бибсаа × би показујући да су 0, подразумевајући да је праваца × б је окомита на обе.