У математици, низ је било који низ бројева поређаних у растућем или опадајућем редоследу. Низ постаје геометријски низ када сваки број можете добити множењем претходног броја заједничким фактором. На пример, серије 1, 2, 4, 8, 16... је геометријски низ са заједничким фактором 2. Ако помножите било који број из низа са 2, добићете следећи број. Насупрот томе, низ 2, 3, 5, 8, 14, 22... није геометријски јер не постоји заједнички фактор између бројева. Геометријски низ може имати делимични заједнички фактор, у ком случају је сваки узастопни број мањи од оног који му претходи. 1, 1/2, 1/4, 1/8... је пример. Његов заједнички фактор је 1/2.
Чињеница да геометријски низ има заједнички фактор омогућава вам две ствари. Прва је израчунавање било којег случајног елемента у низу (који математичари воле да називају „нтх "елемент), а други је проналажење збира геометријског низа донтх елемент. Када сумирате секвенцу стављањем знака плус између сваког пара појмова, претворите секвенцу у геометријску серију.
Проналажење н-тог елемента у геометријској серији
Генерално, било коју геометријску серију можете представити на следећи начин:
а + ар + ар ^ 2 + ар ^ 3 + ар ^ 4 +.. .
где "а"је први термин у серији и"р"је заједнички фактор. Да бисте то проверили, размотрите серију у којоја= 1 ир= 2. Добијате 1 + 2 + 4 + 8 + 16... функционише!
Утврдивши ово, сада је могуће извести формулу за н-ти члан у низу (Иксн).
к_н = ар ^ {(н-1)}
Експонент јен- 1 пре негонкако би се омогућило да се први члан у низу записује каоар0, што је једнако "а."
Проверите ово израчунавањем 4. члана у серији примера.
к_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Израчунавање збира геометријског низа
Ако желите да сумирате дивергентни низ, који је онај са уобичајеним оброком већим од 1 или мањим од -1, то можете учинити само до коначног броја чланова. Међутим, могуће је израчунати збир бесконачног конвергентног низа, који има заједнички однос између 1 и - 1.
Да бисте развили формулу геометријске суме, почните тако што ћете размотрити шта радите. Тражите укупан број следећих додатака:
а + ар + ар ^ 2 + ар ^ 3 +... + ар ^ {(н-1)}
Сваки појам у серији јеарк, икиде од 0 дон− 1. Формула за збир низа користи знак сигма великог слова - ∑ - што значи да се додају сви изрази из (к= 0) до (к = н − 1).
\ сум_к ^ {н-1} ар ^ к = а \ бигг (\ фрац {1 - р ^ н} {1 - р} \ бигг)
Да бисте то проверили, узмите у обзир зброј прва 4 члана геометријског низа који почињу на 1 и имају заједнички фактор 2. У горњој формули,а = 1, р= 2 ин= 4. Прикључивањем ових вредности добијате:
1 \ бигг (\ фрац {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ бигг) = 15
То је лако проверити додавањем бројева у серији. У ствари, када вам је потребан збир геометријског низа, обично је лакше сами додати бројеве када постоји само неколико чланова. Ако серија има велики број чланака, далеко је лакше користити формулу геометријског збира.