Тригонометрија се може осећати прилично апстрактно. Изгледа да тајни појмови попут „грех“ и „цос“ не одговарају ничему у стварности, и тешко је схватити их као концепте. Јединствени круг у томе знатно помаже, нудећи директно објашњење који су бројеви које добијате када узмете синус, косинус или тангенту угла. За све студенте наука или математике, разумевање јединственог круга заиста може учврстити ваше разумевање тригонометрије и начина коришћења функција.
ТЛ; ДР (предуго; Нисам прочитао)
Јединствени круг има полупречник један. Замислитекикоординатни систем који почиње у центру овог круга. Тачкасти углови се мере одакле јеИкс= 1 иг.= 0, на десној страни круга. Углови се повећавају док се крећете у смеру супротном од казаљке на сату.
Користећи овај оквир иг.заг.-координисати иИксзаИкс-координата тачке на кругу:
грехθ = г.
цосθ = Икс
И последично:
препланулаθ = г. / Икс
Шта је јединствени круг?
Круг „јединице“ има полупречник 1. Другим речима, удаљеност од средишта круга до било ког дела ивице је увек 1. Јединица мере заправо није битна, јер је најважније у јединици круга то што многе једначине и прорачуне чини много једноставнијим.
Такође служи као корисна основа за сагледавање дефиниција углова. Замислите да центар круга седи у средишту координатног система саИкс-ос у хоризонталном положају и аг.-ос вертикално ради. Круг прелазиИкс-ос уИкс = 1, г.= 0. Научници и математичари дефинишу угао од те тачке који се креће у смеру супротном од кретања казаљке на сату. Дакле поентаИкс =1, г.= 0 на кругу је под углом од 0 °.
Дефиниције греха и коз са јединственим кругом
Уобичајене дефиниције греха, кос и препланулости које се дају студентима односе се на троуглове. Они наводе:
\ син θ = \ фрац {\ тект {супротно}} {\ тект {хипотенуза}} \\ \, \\ \ цос θ = \ фрац {\ тект {суседно}} {\ тект {хипотенуза}} \\ \, \\ \ тан θ = \ фрац {\ син θ} {\ цос θ}
„Супротно“ се односи на дужину странице троугла насупрот углу, „суседно“ се односи на дужина странице поред угла и „хипотенуза“ се односи на дужину дијагоналне странице троугао.
Замислите да направите троугао тако да хипотенуза увек буде полупречник јединичног круга, са једним углом на ивици круга и једним у његовом центру. То значи да је хипотенуза = 1 у једначинама изнад, па прве две постају:
\ син θ = \ фрац {\ тект {супротно}} {1} = \ тект {супротно} \\ \, \\ \ цос θ = \ фрац {\ тект {суседно}} {1} = \ тект {суседно} \\
Ако дотични угао направите оним у средини круга, супротан је самог.-координатни и суседни је самоИкс-координата тачке на кружници која додирује троугао. Другим речима, грех враћаг.-координата на јединичном кругу (користећи координате које почињу у центру) за дати угао и цос враћа вредностИкс-координисати. Због тога је цос (0) = 1 и син (0) = 0, јер су у овом тренутку то координате. Исто тако, цос (90) = 0 и син (90) = 1, јер је ово тачка саИкс= 0 иг.= 1. У облику једначине:
\ син θ = и \\ \ цос θ = к
Негативне углове је такође лако разумети на основу овога. Негативни углови (измерени у смеру казаљке на сату од почетне тачке) имају истеИкскоордината као одговарајући позитивни угао, па:
\ цос -θ = \ цос θ
Међутимг.-координатни прекидачи, што значи да
\ син -θ = - \ грех θ
Дефиниција тан са јединственим кругом
Дефиниција тена дата горе је:
\ тан θ = \ фрац {\ син θ} {\ цос θ}
Али са дефиницијама јединственог круга греха и цос, можете видети да је ово еквивалентно:
\ тан θ = \ фрац {\ тект {супротно}} {\ тект {суседно}}
Или, размишљајући у смислу координата:
\ тан θ = \ фрац {и} {к}
Ово објашњава зашто је тен недефинисан за 90 ° или -270 ° и 270 ° или -90 ° (гдеИкс= 0), јер не можете поделити са нулом.
Графиковање тригонометријских функција
Графиковање греха или цос постаје лакше када помислите на јединствени круг. ТхеИкс-координата се глатко мења док се крећете по кругу, почевши од 1 и смањујући се на минимум -1 на 180 °, а затим повећавајући на исти начин. Функција греха ради исто, али се прво повећава на максималну вредност од 1 на 90 °, пре него што следи исти образац. За две функције се каже да су 90 ° ван "фазе" једна с другом.
Графичка препланулост захтева поделуг.од странеИкс, и тако је сложенији за графички приказ, а такође има и тачке у којима није дефинисан.