Како пронаћи највећи заједнички фактор два броја

Проналажење највећег заједничког фактора, или ГЦФ, два броја, корисно је у многим ситуацијама у математици, али посебно када је реч о поједностављивању разломака. Ако се борите са овим или налазите заједничке именитеље, учење две методе за проналажење заједничких чинилаца помоћи ће вам да постигнете оно што намеравате. Прво је, ипак, добра идеја да се упознате са основама фактора; онда можете погледати два приступа за проналажење заједничких фактора. На крају, можете погледати како применити своје знање како бисте поједноставили разломак.

Фактори су бројеви које множите заједно да бисте произвели други број. На пример, 2 и 3 су чиниоци 6, јер је 2 × 3 = 6. Слично томе, 3 и 3 су фактори 9, јер је 3 × 3 = 9. Као што можда знате, прости бројеви су бројеви који немају друге чиниоце осим себе и 1. Дакле, 3 је прост број, јер су једина два цела броја (цели бројеви) који се могу множити заједно дајући 3 као одговор су 3 и 1. На исти начин, 7 је прост број, па тако и 13.

Због тога је често корисно поделити број на „главне факторе“. То значи пронаћи све факторе простих бројева другог броја. У основи разбија број на своје основне „градивне блокове“, што је користан корак ка томе проналажење највећег заједничког фактора два броја и такође је непроцењиво када је у питању поједностављивање квадрата корење.

Најједноставнија метода за проналажење највећег заједничког фактора два броја је једноставно навођење свих фактора сваког броја и тражење највећег броја који обојица деле. Замислите да желите да пронађете највећи заједнички фактор 45 и 60. Прво, погледајте различите бројеве које можете помножити да бисте добили 45.

Најлакши начин је да започнете са двоје за које знате да ће радити, чак и за прост број. У овом случају знамо 1 × 45 = 45, тако да знамо да су 1 и 45 фактори 45. Ово су први и последњи фактор од 45, тако да одатле можете само да попуните. Затим утврдите да ли је 2 фактор. Ово је лако, јер ће било који паран број бити дељив са 2, а сваки непаран број неће. Дакле, знамо да 2 није фактор 45. Шта је са 3? Могли бисте да уочите да је фактор 3 45, јер је 3 × 15 = 45 (увек можете да градите на ономе што јесте знајте да то решите, на пример, знаћете да је 3 × 12 = 36, а додавање тројки на ово вас води до 45).

Даље, да ли је фактор 4 45? Не - знате 11 × 4 = 44, па не може бити! Даље, шта је са 5? Ово је још једно лако, јер је било који број који се завршава са 0 или 5 дељив са 5. А помоћу овога можете лако уочити да је 5 × 9 = 45. Али 6 није добро јер је 7 × 6 = 42 и 8 × 6 = 48. Из овога такође можете видети да 7 и 8 нису фактори 45. Већ знамо да је 9 и лако је видети да 10 и 11 нису фактори. Наставите овај поступак и приметићете да је 15 фактор, али ништа друго није.

Дакле, фактори 45 су: 1, 3, 5, 9, 15 и 45.

За 60 година пролазите кроз потпуно исти процес. Овај пут је број паран (па знате да је 2 фактор) и дељив са 10 (дакле 5 и 10 су оба фактора), што ствари чини мало лакшима. Након поновног проласка кроз процес, требало би да видите да су фактори 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

Упоређивање две листе показује да је 15 највећи заједнички фактор 45 и 60. Ова метода може да одузме време, али је једноставна и увек ће функционисати. Такође можете започети са било којим високим заједничким фактором који можете одмах уочити, а затим једноставно потражите више факторе сваког броја.

Друга метода проналажења ГЦФ за два броја је употреба простих фактора. Процес просте факторизације је мало лакши и структуриранији од проналаска сваког фактора. Прођимо кроз поступак за 42 и 63.

Процес факторизације простих бројева у основи укључује разбијање броја док вам не остану само прости бројеви. Најбоље је започети са најмањим примером (два) и радити одатле. Дакле, за 42 је лако видети да је 2 × 21 = 42. Онда радите од 21: Да ли је фактор 2? Не. Је ли 3? Да! 3 × 7 = 21, а 3 и 7 су прости бројеви. То значи да су главни фактори 42 2, 3 и 7. Први „бреак“ је искористио 2 да би дошао до 21, а други је ово разбио на 3 и 7. То можете проверити множењем свих својих фактора заједно и провером да ли добијате оригинални број: 2 × 3 × 7 = 42.

За 63, 2 није фактор, али 3 јесте, јер 3 × 21 = 63. Опет, 21 се распада на 3 и 7 - оба главна - тако да знате главне факторе! Провера показује да је 3 × 3 × 7 = 63, према потреби.

Највиши заједнички чинилац проналазите гледајући које су просте чиниоце та два броја заједничка. У овом случају, 42 има 2, 3 и 7, а 63 3, 3 и 7. Заједничко им је 3 и 7. Да бисте пронашли највиши заједнички фактор, помножите све заједничке основне факторе заједно. У овом случају, 3 × 7 = 21, па је 21 највећи заједнички фактор 42 и 63.

Претходни пример се и на овај начин може брже решити. Будући да је 45 дељиво са три (3 × 15 = 45), а 15 је и дељиво са три (3 × 5 = 15), главни фактори 45 су 3, 3 и 5. За 60, он је дељив са два (2 × 30 = 60), 30 је дељив и са два (2 × 15 = 30), а онда вам остаје 15, за које знамо да су три и пет као главни фактори, остављајући 2, 2, 3 и 5. Упоређујући две листе, три и пет су уобичајени основни фактори, па је највећи заједнички фактор 3 × 5 = 15.

У случају да постоје три или више основних фактора, множите их све заједно на исти начин да бисте пронашли највећи заједнички фактор.

Ако вам се представи разломак попут 32/96, он може извршити врло компликоване прорачуне који следе након њега, осим ако не пронађете начин за поједностављивање разломка. Проналажење најнижег заједничког фактора од 32 и 96 рећи ће вам број са којим ћете поделити оба, да бисте добили једноставнији разломак. У овом случају:

За 96, процес даје:

Требало би бити јасно да 2⁵ = 32 је најчешћи заједнички фактор. Дељењем оба дела разломка са 32 добија се:

Проналажење заједничких именитеља је сличан поступак. Замислите да сте морали додати разломке 15/45 и 40/60. Из првог примера знамо да је 15 највиши заједнички фактор од 45 и 60, па их можемо одмах изразити као 5/15 и 10/15. С обзиром да је 3 × 5 = 15, а оба бројила су такође дељива са пет, можемо поделити оба дела оба разломка са пет да бисмо добили 1/3 и 2/3. Сада их је много лакше додати и видети