Једном када почнете да се бавите тригонометријом и рачуном, можете наићи на изразе попут греха (2θ), где се од вас тражи да пронађете вредностθ. Играње покушаја и грешака помоћу графикона или калкулатора како би се пронашао одговор кретало би се од дуготрајне ноћне море до потпуно немогуће. Срећом, идентитети са двоструким углом су ту да помогну. Ово су посебни примери онога што је познато као сложена формула, која разбија функције облика (А. + Б.) или (А. – Б.) доле у функције праведногА.иБ..
Двокутни идентитети за синус
Постоје три идентитета са двоструким углом, по један за синусну, косинусну и тангентну функцију. Али синусни и косинусни идентитет могу се написати на више начина. Ево два начина писања идентитета двоструког угла за синусну функцију:
\ син (2θ) = 2 \ синθ \ цосθ \\ \ син (2θ) = \ фрац {2 \ танθ} {1 + \ тан ^ 2θ}
Двокутни идентитети за косинус
Постоји још више начина писања идентитета двоструког угла за косинус:
\ цос (2θ) = \ цос ^ 2θ - \ син ^ 2θ \\ \ цос (2θ) = 2 \ цос ^ 2θ - 1 \\ \ цос (2θ) = 1 - 2 \ син ^ 2θ \\ \ цос ( 2θ) = \ фрац {1 - \ тан ^ 2θ} {1 + \ тан ^ 2θ}
Двокутни идентитет за тангенту
Милостиво, постоји само један начин да се напише идентитет двоструког угла за функцију тангенте:
\ тан (2θ) = \ фрац {2 \ танθ} {1 - \ тан ^ 2θ}
Коришћење двокутних идентитета
Замислите да сте суочени са правоуглим троуглом где знате дужину његових страница, али не и меру његових углова. Од вас је тражено да пронађетеθ, гдеθје један од углова троугла. Ако хипотенуза троугла мери 10 јединица, страница уз ваш угао мери 6 јединица а страница насупрот угла мери 8 јединица, није битно што не знате меруθ; можете да користите своје знање о синусу и косинусу, плус једну од формула двоструког угла, да бисте пронашли одговор.
Једном када одаберете угао, синус можете да дефинишете као однос супротне странице над хипотенузом, а косинус као однос суседне странице над хипотенузом. Дакле, у управо датом примеру имате:
\ синθ = \ фрац {8} {10} \\ \, \\ \ цосθ = \ фрац {6} {10}
Ова два израза ћете наћи јер су они најважнији градивни елементи за формуле са двоструким углом.
Будући да постоји толико много формула са двоструким углом, можете одабрати ону која изгледа лакше за израчунавање и која ће вратити потребну врсту података. У овом случају зато што знате грехθи косθвећ је јасно да је најприкладнији израз:
\ син (2θ) = 2 \ синθ \ цосθ
Вредности синθ и цосθ већ знате, па их замените у једначину:
\ син (2θ) = 2 × \ фрац {8} {10} × \ фрац {6} {10}
Једном када поједноставите, имаћете:
\ син (2θ) = \ фрац {96} {100}
Већина тригонометријских карата дата је у децималним цифрама, па следећи поступак поделе представљен разломком претворите у децимални облик. Сада имате:
\ син (2θ) = 0,96
На крају, пронађите обрнути синус или арксинус од 0,96, што је записано као грех −1(0.96). Или, другим речима, помоћу калкулатора или графикона приближите угао који има синус 0,96. Испоставило се да је то скоро тачно 73,7 степени. Дакле 2θ= 73,7 степени.
Поделите сваку страницу једначине са 2. Ово вам даје:
θ = 36,85 \ текст {степени}