Иако енглеске речи „слијед“ и „серија“ имају слично значење, у математици су то потпуно различити појмови. Низ је списак бројева смештених у дефинисаном редоследу, док је низ збир такве листе бројева. Постоји много врста секвенци, укључујући оне засноване на бесконачним списковима бројева. Различите секвенце и одговарајуће серије имају различита својства и могу дати изненађујуће резултате.
ТЛ; ДР (предуго; Нисам прочитао)
Секвенце су листе бројева постављених у одређеном редоследу према датим правилима. Низ који одговара низу је збир бројева у том низу. Серије могу бити аритметичке, што значи да постоји фиксна разлика између бројева серије или геометријске, што значи да постоји фиксни фактор. Бесконачне серије немају коначни број, али под одређеним условима могу и даље имати фиксну суму.
Врсте секвенци и серија
Уобичајени низови су аритметички или геометријски. У аритметичком низу, сваки број или члан низа разликује се од претходног члана за исти износ. На пример, ако је разлика аритметичке секвенце 2, одговарајући аритметички низ може бити 1, 3, 5... Ако је разлика -3, секвенца може бити 4, 1, -2... Аритметички низ је дефинисан почетним бројем и разликом.
За геометријске низове, појмови се разликују по фактору. На пример, секвенца са фактором 2 може бити 2, 4, 8... а секвенца са фактором 0,75 може бити 32, 24, 18... Геометријски низ је дефинисан почетним бројем и фактором.
Типови серија зависе од низа који се додаје. Аритметичка серија додаје чланове аритметичког низа, а геометријска серија додаје геометријски низ.
Коначни и бесконачни низови и серије
Секвенце и одговарајуће серије могу се заснивати на фиксном броју појмова или бесконачном броју. Коначан низ има почетни број, разлику или фактор и фиксни укупан број чланова. На пример, први аритметички низ горе са осам чланова био би 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Први геометријски низ горе са шест појмова био би 2, 4, 8, 16, 32, 64. Одговарајући аритметички низ имао би вредност 64, а геометријски низ 126. Бесконачне секвенце немају фиксни број чланова, а њихови термини могу расти до бесконачности, смањити се на нулу или се приближити фиксној вредности. Одговарајући низ такође може имати бесконачни, нулти или фиксни резултат.
Конвергентне и дивергентне серије
Бесконачне серије су дивергентне ако се збир приближава бесконачности како се број чланова повећава. Бесконачни низ је конвергентан ако се његов зброј приближи неконачној вредности као што је нула или неки други фиксни број. Серије су конвергентне ако се чланови основног низа брзо приближе нули.
Серија која додаје чланове бесконачног низа 1, 2, 4... је дивергентна јер услови низа непрестано расту, омогућавајући зброју да достигне бесконачну вредност како се број чланова повећава. Серије 1, 0,5, 0,25... је конвергентна јер термини брзо постају врло мали.
Иако су низови поредане листе бројева, а низови су суми, обоје могу бити важни алати у процењивање скупова бројева и својства конвергенције или дивергенције могу имати стварни живот последице. Дивергентна серија често представља нестабилно стање, док конвергентна серија често значи да ће процес или структура бити стабилни.