V geometrijskem zaporedju je vsak člen enak prejšnjemu členu, pomnožen s konstantnim množiteljem, ki ni nič, imenovan skupni faktor. Geometrijska zaporedja imajo lahko določeno število členov ali pa so neskončna. V obeh primerih lahko izrazi geometrijskega zaporedja hitro postanejo zelo veliki, zelo negativni ali zelo blizu ničli. V primerjavi z aritmetičnimi zaporedji se izrazi spreminjajo veliko hitreje, a medtem ko je neskončna aritmetika zaporedja se enakomerno povečujejo ali zmanjšujejo, lahko se geometrijska zaporedja približajo ničli, odvisno od skupnega dejavnik.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Geometrijsko zaporedje je urejen seznam števil, v katerih je vsak člen zmnožek prejšnjega člena in fiksni množitelj, ki ni nič, imenovan skupni faktor. Vsak člen geometrijskega zaporedja je geometrična sredina izrazov pred njim in za njim. Neskončna geometrijska zaporedja s skupnim faktorjem med +1 in -1 se približujejo meji nič kot izrazi se dodajo, medtem ko gredo zaporedja s skupnim faktorjem, večjim od +1 ali manjšim od -1, na plus ali minus neskončnost.
Kako delujejo geometrijska zaporedja
Geometrijsko zaporedje je določeno s svojo začetno številkoa, skupni dejavnikrin število izrazovS. Ustrezna splošna oblika geometrijskega zaporedja je:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Splošna formula za izrazngeometrijskega zaporedja (tj. kateri koli izraz znotraj tega zaporedja) je:
a_n = ar ^ {n-1}
Rekurzivna formula, ki definira izraz glede na prejšnji izraz, je:
a_n = ra_ {n-1}
Primer geometrijskega zaporedja s startno številko 3, skupnim faktorjem 2 in osmimi členi je 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Izračun zadnjega izraza z uporabo zgoraj navedenega splošnega obrazca je:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Uporaba splošne formule za izraz 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Če želite uporabiti rekurzivno formulo za izraz 5, potem je izraz 4 = 24 in a5 je enako:
a_5 = 2 × 24 = 48
Geometrijske lastnosti zaporedja
Kar zadeva geometrijsko sredino, imajo geometrijska zaporedja posebne lastnosti. Geometrična sredina dveh števil je kvadratni koren njihovega izdelka. Na primer, geometrična sredina 5 in 20 je 10, ker je zmnožek 5 × 20 = 100 in kvadratni koren 100 je 10.
V geometrijskih zaporedjih je vsak izraz geometrična sredina izraza pred njim in izraza za njim. Na primer, v zaporedju 3, 6, 12... zgoraj je 6 geometrična sredina 3 in 12, 12 je geometrična sredina 6 in 24, 24 pa geometrična sredina 12 in 48.
Druge lastnosti geometrijskih zaporedij so odvisne od skupnega faktorja. Če je skupni dejavnikrje večje od 1, se bodo neskončna geometrijska zaporedja približala pozitivni neskončnosti. Čerje med 0 in 1, se zaporedja približajo ničli. Čerje med nič in -1, se zaporedja približujejo ničli, vendar se bodo izrazi izmenjevali med pozitivnimi in negativnimi vrednostmi. Čermanj kot -1, bodo izrazi usmerjeni v pozitivno in negativno neskončnost, ko se izmenjujejo med pozitivnimi in negativnimi vrednostmi.
Geometrijska zaporedja in njihove lastnosti so še posebej koristna pri znanstvenih in matematičnih modelih procesov iz resničnega sveta. Uporaba določenih zaporedij lahko pomaga pri preučevanju populacij, ki rastejo s fiksno stopnjo v določenih časovnih obdobjih, ali naložb, ki prinašajo obresti. Splošne in rekurzivne formule omogočajo napovedovanje natančnih vrednosti v prihodnosti na podlagi izhodišča in skupnega faktorja.