Preden začnete poenostavljati ali kako drugače manipulirati z racionalnimi izrazi, si vzemite trenutek in preglejte, kaj sam racionalni izraz je: Ulomek s polinomom v števcu in imenovalcu. Ali povedano drugače, razmerje enega polinoma do drugega. Ko prepoznate racionalen izraz, se postopek poenostavitve zniža na tri korake.
Koraki za poenostavitev racionalnih izrazov
Postopek za poenostavitev racionalnih funkcij sledi dokaj preprostemu načrtu. Najprej morate združiti podobne izraze, če jih še niste, da boste lažje videli polinome.
Nato razčleni vsak polinom. Včasih morate le zapisati vsak termin. Na primer, jasno je, da 4x (ki je v resnici polinom, čeprav ima le en izraz) ima dva dejavnika: 4 in x. Toda pri bolj zapletenih polinomih je vaše najboljše orodje pogosto prepoznavanje vzorcev za določene vrste polinoma, o katerih ste se že naučili. Če ste na primer pozorno spremljali svoje formule, se morda spomnite, da je polinom obrazca a2 - b2 dejavniki (a + b) (a - b).
Ko so vaši polinomi v celoti razdeljeni, zadnji korak prekliče vse pogoste dejavnike, ki se pojavijo v števcu in imenovalcu. Rezultat je vaš poenostavljeni polinom.
Nasveti
Kaj pa, če polinomi v vašem racionalnem izrazu niso takšne oblike, ki bi jo znali enostavno razstaviti na faktor? Obstajajo še druge tehnike, s katerimi jih lahko razčlenite, na primer izpolnjevanje kvadrata ali kvadratna formula.
Opozorilo glede imenovalca
Morda ne boste presenečeni, če boste slišali, da je tu malo ulova. Običajno domena (ali nabor možnih x vrednosti) za vaš racionalni izraz se šteje za množico vseh realnih števil. Če pa se zgodi, da je imenovalec vašega ulomka nič, je rezultat nedefiniran ulomek.
Zakaj bi bil vaš imenovalec nič? Običajno je za preverjanje potreben le majhen pregled. Če je na primer imenovalec vašega ulomka zmanjšan na faktorje (x + 2) (x - 2), nato pa vrednost x = -2 bi bil prvi faktor enak nič, in x = 2 bi bil drugi faktor enak nič.
Torej morata biti obe vrednosti, -2 in 2, izključeni iz domene vašega racionalnega izraza. Običajno boste to označili z znakom "ni enako" ali ≠. Če želite na primer iz domene izključiti -2 in 2, bi to napisali x ≠ -2, 2.
Poenostavitev racionalnih izrazov: primeri
Zdaj, ko razumete postopek poenostavljanja racionalnih izrazov, je čas, da si ogledamo nekaj primerov.
Primer 1: Poenostavite racionalno izražanje (x2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Tu ni nobenih podobnih izrazov, zato lahko prvi korak preskočite. Nato lahko z ostrimi očmi in malo vaje opazite, da se števec in imenovalec zlahka upoštevata:
(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Morda boste to tudi opazili (x + 2) je faktor tako števca kot imenovalca. Ko prekličete dejavnik v skupni rabi, vam ostane:
(x - 2) / (x + 2)
Racionalno izražanje ste poenostavili, kolikor je le mogoče, vendar je treba narediti še eno stvar: prepoznati "ničle" ali korenine, ki bi povzročile nedefiniran ulomek, zato jih lahko izključite iz domene. V tem primeru je s pregledom enostavno videti, kdaj x = -2, bo faktor na dnu enak nič. Torej je vaš poenostavljeni racionalni izraz dejansko:
(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2
2. primer: Poenostavite racionalno izražanje x / (x2 - 4x)
Ni podobnih izrazov, ki bi jih lahko kombinirali, zato lahko s pregledom nadaljujete s faktoringom. Ni preveč težko opaziti, da lahko upoštevate faktor x iz spodnjega izraza, ki vam daje:
x / x (x - 4)
Lahko prekličete x faktor tako iz števca kot iz imenovalca, zaradi česar imate:
1 / (x - 4)
Zdaj je vaše racionalno izražanje poenostavljeno, vendar morate opozoriti tudi na katerega koli x vrednosti, ki bi povzročile nedefiniran ulomek. V tem primeru, x = 4 bi vrnil vrednost nič v imenovalcu. Vaš odgovor je torej:
1 / (x - 4), x ≠ 4