Kaj so resnične številke?

Realna števila so vsa števila na številski črti, ki se razteza od negativne neskončnosti do nič do pozitivne neskončnosti. Ta konstrukcija množice realnih števil ni poljubna, temveč rezultat evolucije naravnih števil, ki se uporabljajo za štetje. Sistem naravnih števil ima več nedoslednosti, in ker so izračuni postajali bolj zapleteni, se je sistem številk razširil, da je odpravil svoje omejitve. Pri realnih številih izračuni dajejo dosledne rezultate in obstaja nekaj izjem ali omejitev, kakršne so bile prisotne pri bolj primitivnih različicah številskega sistema.

TL; DR (predolgo; Nisem prebral)

Nabor realnih števil je sestavljen iz vseh števil v številski vrstici. To vključuje naravna števila, cela števila, cela števila, racionalna števila in iracionalna števila. Ne vključuje namišljenih števil ali kompleksnih števil.

Zapiranje je lastnost nabora števil, kar pomeni, da če so dovoljeni izračuni za števila, ki so člani nabora, bodo odgovori tudi števila, ki so člani nabora. Set naj bi bil zaprt.

Naravna števila so štetje številk, 1, 2, 3... in nabor naravnih števil ni zaprt. Ker so se v trgovini uporabljale naravne številke, sta se takoj pojavili dve težavi. Medtem ko so naravna števila štela resnične predmete, na primer krave, če je imel kmet pet krav in je prodal pet krav, naravnega števila ni bilo. Sistemi zgodnjih številk so zelo hitro razvili izraz nič, da bi rešili to težavo. Rezultat je bil sistem celih števil, to je naravnih števil plus nič.

Drugi problem je bil povezan tudi z odštevanjem. Dokler so številke štele resnične predmete, kot so krave, kmet ni mogel prodati več krav, kot jih je imel. Ko pa so številke postale abstraktne, je odštevanje večjih števil od manjših dobilo odgovore zunaj sistema celih števil. Kot rezultat so bila uvedena cela števila, ki so celotna števila in negativna naravna števila. Številski sistem je zdaj vključeval celotno številčno vrstico, vendar le s celimi števili.

Izračuni v zaprtem številskem sistemu morajo dati odgovore znotraj številskega sistema za operacije, kot so seštevanje in množenje, pa tudi za njihove obratne operacije, odštevanje in delitev. Sistem celih števil je zaprt za seštevanje, odštevanje in množenje, ne pa tudi za deljenje. Če je celo število deljeno z drugim celim številom, rezultat ni vedno celo število.

Če delite majhno celo število na večje, dobite ulomek. Takšne frakcije smo v številski sistem dodali kot racionalna števila. Racionalna števila so opredeljena kot poljubna števila, ki jih lahko izrazimo kot razmerje med dvema celo številoma. Vsako poljubno decimalno število lahko izrazimo kot racionalno število. Na primer 2.864 je 2864/1000 in 0.89632 je 89632 / 100.000. Številčna vrstica se je zdaj zdela popolna.

V številski vrstici obstajajo številke, ki jih ni mogoče izraziti kot del celih števil. Eno je razmerje stranic pravokotnega trikotnika proti hipotenuzi. Če sta dve stranici pravokotnega trikotnika 1 in 1, je hipotenuza kvadratni koren iz 2. Kvadratni koren iz dveh je neskončno decimalno mesto, ki se ne ponovi. Takšne številke imenujemo iracionalne in vključujejo vsa realna števila, ki niso racionalna. S to definicijo je številčna črta vseh realnih števil popolna, ker je vsako drugo realno število, ki ni racionalno, vključeno v definicijo iracionalnega.

Čeprav naj bi se dejanska številska črta raztezala od negativne do pozitivne neskončnosti, sama neskončnost ni a realno število, temveč koncept številskega sistema, ki ga opredeljuje kot količino, večjo od katere koli številko. Matematično neskončnost je odgovor na 1 / x, ko x doseže ničlo, vendar delitev z ničlo ni definirana. Če bi bilo neskončnost število, bi to vodilo v protislovja, ker neskončnost ne sledi aritmetičnim zakonom. Na primer, neskončnost plus 1 je še vedno neskončnost.

Nabor realnih števil je zaprt za seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, razen za deljenje z nič, kar ni določeno. Set ni zaprt vsaj za eno drugo operacijo.

Pravila množenja v množici realnih števil določajo, da množenje negativnih in a pozitivno število daje negativno število, množenje pozitivnih ali negativnih števil pa pozitivno odgovori. To pomeni, da poseben primer množenja števila sam po sebi daje pozitivno število tako za pozitivna kot negativna števila. Inverzna vrednost tega posebnega primera je kvadratni koren pozitivnega števila, ki daje tako pozitiven kot negativen odgovor. Za kvadratni koren negativnega števila v množici realnih števil ni odgovora.

Koncept nabora namišljenih števil obravnava vprašanje negativnih kvadratnih korenin v realnih številih. Kvadratni koren minus 1 je definiran kot i in vsa namišljena števila so večkratniki i. Za dokončanje teorije števil je množica kompleksnih števil opredeljena tako, da vključuje vsa realna in vsa namišljena števila. Realna števila je mogoče še naprej vizualizirati na vodoravni številski črti, medtem ko so namišljena števila navpična številčna črta, pri čemer se dve sekata nič. Kompleksna števila so točke v ravnini dveh številskih črt, od katerih ima vsaka realno in namišljeno komponento.