Algebra pogosto vključuje poenostavitev izrazov, vendar so nekateri izrazi bolj zmedeni kot drugi. Kompleksna števila vključujejo količino, znano kotjaz, "namišljeno" število z lastnostjojaz= √−1. Če morate preprosto izraz, ki vključuje kompleksno število, se morda zdi zastrašujoč, vendar je to povsem preprost postopek, ko se naučite osnovnih pravil.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Poenostavite kompleksna števila tako, da upoštevate pravila algebre s kompleksnimi števili.
Kaj je kompleksna številka?
Kompleksna števila so opredeljena z vključitvijojazizraz, ki je kvadratni koren minus ena. V osnovni matematiki kvadratne korenine negativnih števil v resnici ne obstajajo, vendar se občasno pojavijo v težavah z algebro. Splošna oblika za kompleksno število prikazuje njihovo strukturo:
z = a + bi
Kjezoznačuje kompleksno številko,apredstavlja poljubno število (imenovano "pravi" del) inbpredstavlja drugo število (imenovano "namišljeni" del), ki je lahko pozitivno ali negativno. Primer kompleksne številke je torej:
z = 2 −4i
Ker lahko vse kvadratne korenine negativnih števil predstavimo z večkratnikijaz, to je oblika za vsa kompleksna števila. Tehnično redno število opisuje samo poseben primer kompleksnega števila, kjerb= 0, tako da lahko vsa števila štejemo za kompleksna.
Osnovna pravila za algebro s kompleksnimi številkami
Če želite seštevati in odštevati kompleksna števila, preprosto ločite ali odštejte dejanski in namišljeni del. Torej za kompleksna številaz = 2 – 4jazinw = 3 + 5jaz, vsota je:
\ začeti {poravnano} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {poravnano}
Odštevanje števil deluje na enak način:
\ začeti {poravnano} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {poravnano }
Množenje je še ena preprosta operacija s kompleksnimi števili, ker deluje kot običajno množenje, le da si tega ne morate zapomnitijaz2 = −1. Torej za izračun 3jaz × −4jaz:
3i × -4i = -12i ^ 2
Ampak sajjaz2= -1, potem:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
S polnimi kompleksnimi števili (z uporaboz = 2 – 4jazinw = 3 + 5jazspet), pomnožite jih na enak način kot z običajnimi števili, kot je (a + b) (c + d), z uporabo metode "prvi, notranji, zunanji, zadnji" (FOIL), da (a + b) (c + d) = ak + pr + oglas + bd. Zapomniti si morate le poenostavitev primerovjaz2. Tako na primer:
\ začetek {poravnano} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ konec {poravnano}
Delitev kompleksnih števil
Delitev kompleksnih števil vključuje množenje števca in imenovalca ulomka s kompleksnim konjugatom imenovalca. Kompleksni konjugat samo pomeni različico kompleksnega števila z namišljenim delom, obrnjenim v znak. Torej zaz = 2 – 4jaz, kompleksni konjugatz = 2 + 4jaz, in zaw = 3 + 5jaz, w = 3 −5jaz. Za težavo:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Potrebni konjugat jew*. Števec in imenovalec delite s tem, da dobite:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
In potem delate kot v prejšnjem razdelku. Števnik daje:
\ začetek {poravnano} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ konec {poravnano}
In imenovalec daje:
\ začetek {poravnano} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ konec {poravnano}
To pomeni:
\ začetek {poravnano \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ konec {poravnano}
Poenostavitev kompleksnih števil
Za poenostavitev zapletenih izrazov uporabite zgornja pravila. Na primer:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
To lahko poenostavimo z uporabo pravila seštevanja v števcu, pravila množenja v imenovalcu in nato dokončanje delitve. Za števec:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Za imenovalec:
\ začetek {poravnano} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ konec {poravnano}
Če jih postavite nazaj na mesto, dobite:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Množenje obeh delov s konjugatom imenovalca vodi do:
\ začeti {poravnano} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {poravnano}
Torej to pomenizpoenostavlja na naslednji način:
\ začeti {poravnano} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ konec {poravnano}