Razlika med klasično mehaniko in kvantno mehaniko je velika. Medtem ko imajo delci in predmeti v klasični mehaniki jasno določene položaje, pa v kvantni mehaniki (pred meritvijo) a za delce lahko rečemo le, da imajo vrsto možnih položajev, ki jih val opisuje z verjetnostmi funkcijo.
Schrodingerjeva enačba definira valovno funkcijo kvantno-mehanskih sistemov, učenje uporabe in razlage pa je pomemben del katerega koli predmeta kvantne mehanike. Eden najpreprostejših primerov rešitve te enačbe je za delce v škatli.
Funkcija valov
V kvantni mehaniki je delec predstavljen z avalovna funkcija. To običajno označimo z grško črko psi (Ψ) in je odvisen tako od položaja kot od časa in vsebuje vse, kar je mogoče vedeti o delcu.
Modul te funkcije na kvadrat pove, kakšna je verjetnost, da bomo delci našli v položajuxv časut, če je funkcija "normalizirana". To samo pomeni, da je prilagojeno tako, da ga boste zagotovo našlinekajpoložajxob uritko so rezultati na vseh lokacijah povzeti, tj. normalizacijski pogoj pravi, da:
\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Z valovno funkcijo lahko izračunate pričakovano vrednost trenutnega položaja delcat, kjer pričakovana vrednost pomeni samo povprečno vrednost, ki bi jo dobilixče ste meritev ponovili večkrat. Seveda to ne pomeni, da bo to rezultat, ki bi ga dobili za določeno meritev - to jeučinkovitonaključne, čeprav so nekatere lokacije običajno bistveno bolj verjetne kot druge.
Obstaja veliko drugih količin, za katere lahko izračunate pričakovane vrednosti, na primer zagon in energijske vrednosti, pa tudi številne druge "opazljive vrednosti"
Schrodingerjeva enačba
Schrodingerjeva enačba je diferencialna enačba, ki se uporablja za iskanje vrednosti za valovno funkcijo in lastnih stanj za energijo delca. Enačbo lahko izpeljemo iz ohranjanja energije in izrazov za kinetično in potencialno energijo delca. Najenostavneje ga zapišemo:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ delnoΨ} {\ delno t}
Ampak tukajHpredstavljaHamiltonov operator, kar je samo po sebi precej dolg izraz:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ delno ^ 2} {\ delno x ^ 2} + V (x)
Tukaj,mje masa, ℏ je Planckova konstanta, deljena z 2π, inV (x) je splošna funkcija za potencialno energijo sistema. Hamiltonian ima dva različna dela - prvi člen je kinetična energija sistema, drugi člen pa potencialna energija.
Vsaka opazna vrednost v kvantni mehaniki je povezana z operaterjem, v časovno neodvisni različici Schrodingerjeve enačbe pa je Hamiltonian energetski operater. Vendar pa v zgoraj prikazani časovno odvisni različici Hamiltonian generira tudi časovni razvoj valovne funkcije.
S kombinacijo vseh informacij, ki jih vsebuje enačba, lahko opišete razvoj delca v prostoru in času ter tudi zanj predvidete možne energijske vrednosti.
Časovno neodvisna Schrodingerjeva enačba
Časovno odvisen del enačbe je mogoče odstraniti - da opišemo situacijo, ki se s časom zlasti ne razvije - z ločitvijo valovne funkcije na prostor in časovne dele:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). Časovno odvisne dele lahko nato izločimo iz enačbe, zaradi česar ostane časovno neodvisna različica Schrodingerjeve enačbe:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eje energija sistema. To ima natančno obliko enačbe lastne vrednosti zΨ(x) je lastna funkcija inEje lastna vrednost, zato se časovno neodvisno enačbo pogosto imenuje enačba lastne vrednosti za energijo kvantno-mehanskega sistema. Časovna funkcija je preprosto podana z:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Enačba, neodvisna od časa, je koristna, ker poenostavlja izračune za številne situacije, ko časovni razvoj ni posebej pomemben. To je najbolj uporabna oblika za težave z delci v škatli in celo za določanje ravni energije za elektrone okoli atoma.
Delček v škatli (neskončen kvadratni vodnjak)
Ena najpreprostejših rešitev za časovno neodvisno Schrodingerjevo enačbo je za delce v neskončno globok kvadratni vodnjak (tj. neskončno potencialni vodnjak) ali enodimenzionalna škatla baze dolžinaL. Seveda gre za teoretične idealizacije, vendar daje osnovno predstavo o tem, kako rešujete Schrodingerjevo enačbo, ne da bi upoštevali številne zaplete, ki obstajajo v naravi.
Ko je potencialna energija nastavljena na 0 zunaj vrtine, kjer je tudi gostota verjetnosti 0, Schrodingerjeva enačba za to situacijo postane:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
In splošna rešitev za enačbo te oblike je:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Vendar pa lahko pogled na robne pogoje to pomaga pri zožitvi. Zax= 0 inx= L, tj.strani škatle ali stene vodnjaka, mora biti valovna funkcija enaka nič. Kosinusna funkcija ima vrednost 1, če je argument 0, zato je za izpolnitev mejnih pogojev konstantaBmora biti enak nič. Tako ostane:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Za nastavitev vrednosti lahko uporabite tudi robne pogojek. Ker gre funkcija sin pri vrednostih na ničnπ, kjer je kvantno številon= 0, 1, 2, 3… in tako naprej, to pomeni, kdajx = L, enačba bo delovala le, ček = nπ / L. Končno lahko uporabite dejstvo, da je treba valovno funkcijo normalizirati, da poiščete vrednostA(vključiti v vse mogočexvrednosti, to je od 0 doL, nato pa rezultat nastavite na 1 in prerazporedite), da pridete do končnega izraza:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Z uporabo prvotne enačbe in tega rezultata lahko nato rešite zaE, ki daje:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Upoštevajte, da dejstvo, danje v tem izrazu pomeni, da so ravni energijekvantizirano, zato ne morejo vzetikajvrednost, ampak samo ločen niz specifičnih vrednosti ravni energije, odvisno od mase delca in dolžine škatle.
Delci v škatli (Končni kvadratni vodnjak)
Ista težava se nekoliko zaplete, če ima potencialni vodnjak končno višino stene. Na primer, če je potencialV (x) vzame vrednostV0 zunaj potencialne vrtine in 0 v njej lahko valovno funkcijo določimo v treh glavnih regijah, ki jih zajema problem. Vendar je to bolj vključen postopek, zato boste tukaj lahko videli rezultate le namesto, da bi tekali skozi celoten postopek.
Če je vodnjak nax= 0 dox = Lspet za regijo, kjerx<0 rešitev je:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
Za regijox > L, je:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Kje
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Za območje znotraj vodnjaka, kjer je 0 <x < L, splošna rešitev je:
Ψ (x) = C \ sin (šx) + D \ cos (šx)
Kje
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Nato lahko z robnimi pogoji določite vrednosti konstantA, B, CinDpri čemer je treba opozoriti, da mora biti valovna funkcija in njen prvi odvod, ne glede na določeno vrednost na stenah vodnjaka, povsod neprekinjena, valovna funkcija pa povsod končna.
V drugih primerih, kot so plitke škatle, ozke škatle in številne druge posebne situacije, lahko najdete približke in različne rešitve.