Zmnožek dveh skalarnih količin je skalar, zmnožek skalarja z vektorjem pa je vektor, kaj pa produkt dveh vektorjev? Je skalar ali drug vektor? Odgovor je, da bi lahko bil!
Obstajata dva načina za množenje vektorjev skupaj. Eno je tako, da vzamemo njihov pikčast produkt, ki da skalar, in drugo, da vzamemo njihov navzkrižni produkt, ki daje drugega vektorja. Kateri izdelek uporabiti, je odvisno od določenega scenarija in kakšno količino poskušate najti.
Thepikčast izdelekse včasih imenuje tudiskalarni izdelekalinotranji izdelek. Geometrijsko si lahko pikčasti zmnožek med dvema vektorjema predstavljate kot način množenja vektorskih vrednosti, ki šteje le prispevke v isti smeri.
- Opomba: pikčasti izdelki so lahko negativni ali pozitivni, vendar ta znak ni znak smeri. Čeprav je v eni dimenziji vektorska smer pogosto označena z znakom, imajo lahko skalarne veličine z njimi povezane tudi znake, ki niso smerni kazalci. Dolg je le eden izmed mnogih primerov tega.
Opredelitev pikčastega izdelka
Dot produkt vektorjev
\ krepko {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Ko vzameš pikčasti zmnožek vektorja s seboj, se pojavi zanimiv odnos:
\ krepko {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ krepko {a} | ^ 2
Kje |a| je velikost (dolžina)as pitagorejskim izrekom.
Še eno pikčasto formulo izdelka lahko dobimo z uporabo zakona kosinusov. To se naredi na naslednji način:
Razmislite o vektorjih, ki niso ničainbskupaj z njihovim vektorjem razlikea - b. Tri vektorje razporedite tako, da tvorijo trikotnik.
Zakon kosinusov iz trigonometrije nam pove, da:
| \ krepko {ab} | ^ 2 = | \ krepko {a} | ^ 2 + | \ krepko {b} | ^ 2 - 2 | \ krepko {a} || \ krepko {b} | \ cos (\ theta )
In z uporabo definicije pikčastega izdelka dobimo:
| \ krepko {ab} | ^ 2 = (\ krepko {ab}) \ cdot (\ krepko {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ krepko {a} | ^ 2 + | \ krepko {b} | ^ 2 - 2 \ krepko {a \ cdot b}
Če oba izraza nastavimo enaka in nato poenostavimo, dobimo:
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ prekliči {| \ krepko {b} | ^ 2} - 2 | \ krepko {a} || \ krepko {b} | \ cos (\ theta) \\\ besedilo {} \\\ implicira \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ krepko {a} || \ krepko {b} | \ cos (\ theta)}
Ta formulacija omogoča, da pride v poštev naša geometrijska intuicija. Količina |a| cos (θ) je velikost projekcije vektorjaana vektorb.
Torej si lahko pikčasti zmnožek predstavljamo kot projekcijo enega vektorja na drugega in nato zmnožek njihovih vrednosti. Z drugimi besedami, lahko ga vidimo kot produkt enega vektorja s količino drugega vektorja v isti smeri kot on sam.
Lastnosti pikčastega izdelka
Sledi nekaj lastnosti pikčastega izdelka, ki se vam lahko zdijo koristne:
\ # \ besedilo {1. Če} \ theta = 0 \ text {,}} \ krepko {a \ cdot b} = | \ krepko {a} || \ krepko {b} |
To je zato, ker je cos (0) = 1.
\ # \ besedilo {2. Če} \ theta = 180 \ text {,}} \ krepko {a \ cdot b} = - | \ krepko {a} || \ krepko {b} |
To je zato, ker je cos (180) = -1.
\ # \ besedilo {3. Če} \ theta = 90 \ text {,}} \ krepko {a \ cdot b} = 0
To je zato, ker je cos (90) = 0.
- Opomba: Za 0 <
θ
<90 bo pikčast zmnožek pozitiven, za 90 <
θ
<180, bo pika zmnožek negativna.
\ # \ besedilo {4. } \ krepko {a \ cdot b} = \ krepko {b \ cdot a}
To izhaja iz uporabe komutacijske zakonodaje za definicijo pikčastega izdelka.
\ # \ besedilo {5. } \ krepko {a \ cdot (b + c)} = \ krepko {a \ cdot b} + \ krepko {a \ cdot c}
Dokaz:
\ krepko {a \ cdot (b + c)} = \ krepko {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ krepko {a \ cdot b} + \ krepko {a \ cdot c}
\ # \ besedilo {6. } c (\ krepko {a \ cdot b}) = (c \ krepko {a}) \ cdot \ krepko {b}
Dokaz:
c (\ krepko {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ krepko {a}) \ cdot \ krepko {b}
Kako najti pikčast izdelek
Primer 1:V fiziki delo, ki ga opravlja silaFna predmetu, ko se ta premakned, je opredeljen kot:
W = \ krepko {F} \ cdot \ krepko {d} = | \ krepko {F} || \ krepko {d} | \ cos (\ theta)
Kjer je θ kot med vektorjem sile in vektorjem premika.
Količina dela, ki ga je opravila sila, kaže, koliko je ta sila prispevala k razseljevanju. Če je sila v isti smeri kot premik (cos (θ) = 0), prispeva največ. Če je pravokotna na premik (cos (Ѳ) = 90), sploh ne prispeva. In če je nasproten premiku, (cos (θ) = 180), to negativno prispeva.
Recimo, da otrok potiska igralni vlak čez progo z uporabo sile 5 N pod kotom 25 stopinj glede na črto proge. Koliko dela otrok na vlaku, ko ga premakne za 0,5 m?
Rešitev:
F = 5 \ besedilo {N} \\ d = 0,5 \ besedilo {m} \\ \ theta = 25 \ stopinja \\
Z uporabo definicije izdelka s pikami in priklopom vrednosti dobimo:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ krat0,5 \ krat \ cos (25) = \ polje {2,27 \ besedilo {J}}
Iz tega konkretnega primera bi moralo biti še bolj jasno, da uporaba sile, pravokotne na smer premika, ne deluje. Če je otrok potisnil vlak pod pravim kotom na progo, se vlak ne bo premikal niti naprej niti nazaj po progi. Intuitivno je tudi, da se bo delo, ki ga bo otrok na vlaku povečeval, ko se bo kot zmanjšal in bo sila in premik bližje poravnavi.
2. primer:Moč je še en primer fizikalne količine, ki jo lahko izračunamo s pikčastim zmnožkom. V fiziki je moč enaka delu, deljenemu s časom, lahko pa ga zapišemo tudi kot pikčasti zmnožek sile in hitrosti, kot je prikazano:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Kjevje hitrost.
Razmislimo o prejšnjem primeru otrokovega igranja z vlakom. Če nam namesto tega rečejo, da deluje enaka sila, zaradi katere se vlak premika s hitrostjo 2 m / s po progi, potem lahko s pikčastim izdelkom poiščemo moč:
P = \ krepko {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ krat \ cos (25) = 9,06 \ besedilo {Watts}
3. primer:Drug primer, ko se pikčasti izdelki uporabljajo v fiziki, je magnetni tok. Magnetni tok je količina magnetnega polja, ki prehaja skozi določeno območje. Najdemo ga kot pikčasti produkt magnetnega poljaBz območjemA. (Smer vektorja območja jenormalnoali pravokotno na površino območja.)
\ Phi = \ krepko {B \ cdot A}
Recimo, da polje 0,02 Tesle prehaja skozi žično zanko s polmerom 10 cm, tako da je normala 30 stopinj. Kakšen je tok?
\ Phi = \ krepko {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ krat (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ krat \ cos (30) = 0,000544 \ besedilo {Wb}
Ko se ta tok spremeni, bodisi s spreminjanjem vrednosti polja, spreminjanjem območja zanke ali spreminjanjem kota z vrtenjem zanke ali vira polja bo v zanki induciran tok, ki ustvarja elektrika!
Spet opazimo, kako je kot pomemben na intuitiven način. Če bi bil kot 90 stopinj, bi to pomenilo, da bi polje ležalo vzdolž iste ravnine kot območje in skozi zanko ne bi šle nobene črte polja, kar bi povzročilo pretok. Količina pretoka se nato poveča, čim bližje je kot med poljem in normalo na 0. Dot produkt nam omogoča, da ugotovimo, koliko polja je v smeri, normalni na površino, in tako prispeva k toku.
Vektorska projekcija in pikčasti izdelek
V prejšnjih razdelkih je bilo omenjeno, da lahko pikčasti izdelek predstavljamo kot način projiciranja enega vektorja na drugega in nato pomnoževanja njihovih velikosti. Kot takšno ne bi smelo biti presenetljivo, da iz pikčastega izdelka lahko dobimo formulo za vektorsko projekcijo.
Za projiciranje vektorjaana vektorb, vzamemo pikčast zmnožekazvektor enotev smeribin nato pomnožite ta skalarni rezultat z istim vektorjem enote.
Enotni vektor je vektor dolžine 1, ki leži v določeni smeri. Vektor enote v smeri vektorjabje preprosto vektorskibdeljeno s svojo velikostjo:
\ frac {\ krepko {b}} {| \ krepko {b} |}
Ta projekcija je torej:
\ text {Projekcija} \ bold {a} \ text {na} \ bold {b} = \ Velika (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Veliki) \ frac {\ krepko {b}} {| \ krepko {b} |} = \ Veliki (\ krepko {a} \ cdot \ frac {\ krepko {b}} {| \ krepko {b} | ^ 2} \ Veliko) \ krepko {b}
Dot izdelek v višji dimenziji
Tako kot vektorji obstajajo v višji dimenziji, obstaja tudi pika. Zamislite si primer otroka, ki spet potiska vlak. Recimo, da potiska navzdol in pod kotom ob progi. V standardnem koordinatnem sistemu bi morali biti vektorji sile in premika predstavljeni kot tridimenzionalni.
Vndimenzije, pikčasti izdelek je opredeljen na naslednji način:
\ krepko {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Še vedno veljajo vse enake lastnosti pikčastih izdelkov in zakon kosinusov še enkrat daje razmerje:
\ krepko {a \ cdot b} = | \ krepko {a} || \ krepko {b} | \ cos (\ theta)
Kjer velikost vsakega vektorja najdemo na naslednji način, spet v skladu s pitagorejskim izrekom:
| \ krepko {a} | = \ sqrt {\ krepko {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Kako najti pikčast izdelek v treh dimenzijah
Primer 1:Točkovni izdelek je še posebej uporaben, kadar je treba najti kot med dvema vektorjema. Denimo, da želimo na primer določiti kot meda= (2, 3, 2) inb= (1, 4, 0). Tudi če skicirate ta dva vektorja v 3-prostoru, je zelo težko oviti glavo okoli geometrije. Toda matematika je dokaj preprosta, saj upoštevamo dejstvo, da:
\ krepko {a \ cdot b} = | \ krepko {a} || \ krepko {b} | \ cos (\ theta) \\\ implicira \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Veliko (\ frac {\ krepko {a \ cdot b}} {| \ krepko {a} || \ krepko {b} |} \ Veliko)
Nato računanje pikčastega izdelkaainb:
\ krepko {a \ cdot b} = 2 \ krat1 + 3 \ krat4 + 2 \ krat0 = 14
In izračunavanje velikosti vsakega vektorja:
| \ krepko {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ krepko {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
In končno vse priključimo, dobimo:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Veliko (\ frac {\ krepko {a \ cdot b}} {| \ krepko {a} || \ krepko {b} |} \ Veliko) = \ cos ^ {- 1} \ Veliko (\ frac {14} {4,12 \ krat 4,12} \ Veliko) = \ polje {34,4 \ stopinje}
2. primer:Pozitivni naboj stoji na koordinatni točki (3, 5, 4) v tridimenzionalnem prostoru. Na kateri točki vzdolž črte, usmerjene v smeri vektorjaa= (6, 9, 5) je električno polje največje?
Rešitev: Iz našega znanja o tem, kako je jakost električnega polja povezana z razdaljo, vemo, da je to bistvo na premici, ki je najbližja pozitivnemu naboju, je lokacija, kjer bo polje najmočnejši. Glede na naše znanje o pikčastih izdelkih lahko ugibamo, da je uporaba projekcijske formule tukaj smiselna. Ta formula bi nam morala dati vektor, katerega konica je točno na točki, ki jo iščemo.
Izračunati moramo:
\ text {Projekcija} (3, 5, 4) \ text {na} \ bold {a} = \ Velik ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Veliko) \ krepko {a}
Če želite to narediti, najprej poiščimo |a|2:
| \ krepko {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Nato pikčasti izdelek:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ krat6 + 5 \ krat9 + 4 \ krat5 = 83
Razdelitev tega na |a|2 daje 83/142 = 0,585. Nato pomnožite ta skalar zadaje:
0,585 \ krepko {a} = 0,585 \ krat (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Zato je točka vzdolž črte, kjer je polje najmočnejše (3,51, 5,27, 2,93).