Schrodingerjeva enačba je najbolj temeljna enačba v kvantni mehaniki in učenje, kako jo uporabljati in kaj pomeni, je bistvenega pomena za vsakega nadobudnega fizika. Enačba je dobila ime po Erwinu Schrödingerju, ki je leta 1933 skupaj s Paulom Diracom dobil Nobelovo nagrado za prispevek k kvantni fiziki.
Schrodingerjeva enačba opisuje valovno funkcijo kvantno-mehanskega sistema, ki daje verjetnostne informacije o lokaciji delca in drugih opaznih količinah, kot je njegova zagon. Najpomembnejša stvar, ki jo boste spoznali o kvantni mehaniki po spoznavanju enačbe, je, da so zakoni v kvantni sferizelo različnood klasične mehanike.
Funkcija valov
Valovna funkcija je eden najpomembnejših konceptov v kvantni mehaniki, ker je vsak delec predstavljen z valovno funkcijo. Običajno ima grško črko psi (Ψ), odvisno od položaja in časa. Ko imate izraz za valovno funkcijo delca, vam pove vse, kar je mogoče vedeti fizični sistem, različne vrednosti za opazne količine pa je mogoče dobiti z uporabo operatorja za to.
Kvadrat modula valovne funkcije pove verjetnost iskanja delca na določenem položajuxv določenem časut. To je le, če je funkcija "normalizirana", kar pomeni, da mora biti vsota kvadratnega modula na vseh možnih mestih enaka 1, tj.gotovobiti locirannekje.
Upoštevajte, da valovna funkcija zagotavlja samo verjetnostne informacije, zato ne morete predvideti rezultata nobenega opazovanja, čeprav stelahkodoločite povprečje za številne meritve.
Za izračun vrednosti lahko uporabite valovno funkcijo„Pričakovana vrednost“za položaj delca v časut, pri čemer je pričakovana vrednost povprečna vrednostxdobili bi, če bi meritev ponovili večkrat.
Še enkrat, to vam ne pove ničesar o določeni meritvi. Dejansko je valovna funkcija bolj verjetna porazdelitev posameznega delca kot kaj konkretnega in zanesljivega. Z uporabo ustreznega operaterja lahko dobite tudi pričakovane vrednosti za zagon, energijo in druge opazne količine.
Schrodingerjeva enačba
Schrodingerjeva enačba je linearna delna diferencialna enačba, ki opisuje razvoj a kvantno stanje na podoben način kot Newtonovi zakoni (zlasti drugi zakon) v klasični mehanika.
Schrodingerjeva enačba pa je valovna enačba za valovno funkcijo zadevnega delca, zato je uporaba enačbe za napovedovanje prihodnjega stanja sistema včasih imenujemo "valovna mehanika". Enačba sama izhaja iz ohranjanja energije in je zgrajena okoli operaterja, imenovanega Hamiltonov.
Najpreprostejša oblika Schrodingerjeve enačbe, ki jo lahko zapišemo:
H Ψ = iℏ \ frac {\ delnoΨ} {\ delno t}
Kjer je ℏ zmanjšana Planckova konstanta (tj. Konstanta, deljena z 2π) inHje Hamiltonov operator, ki ustreza vsoti potencialne in kinetične energije (celotne energije) kvantnega sistema. Hamiltonian je sicer precej dolg izraz, zato lahko celotno enačbo zapišemo kot:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ delno ^ 2 Ψ} {\ delno x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ delnoΨ} {\ delno t}
Ob ugotovitvi, da je včasih (za eksplicitno tridimenzionalne probleme) prvi delni odvod zapisan kot laplacijev operator2. Hamiltonian v bistvu deluje na valovno funkcijo, da opiše njegovo evolucijo v prostoru in času. Toda v časovno neodvisni različici enačbe (tj. Kadar sistem ni odvisen odt), Hamiltonian daje energijo sistema.
Reševanje Schrodingerjeve enačbe pomeni iskanjekvantno-mehanska valovna funkcijaki jo izpolnjuje za določeno situacijo.
Od časa odvisna Schrodingerjeva enačba
Schrodingerjeva enačba, odvisna od časa, je različica iz prejšnjega poglavja in opisuje razvoj valovne funkcije delca v času in prostoru. Preprost primer za razmislek je prosti delci, ker je potencialna energijaV= 0, rešitev pa ima obliko ravnega vala. Te rešitve imajo obliko:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Kjek = 2π / λ, λje valovna dolžina inω = E / ℏ.
V drugih primerih del izvirne enačbe z potencialno energijo opisuje robne pogoje za prostorski del valovne funkcije in je pogosto ločen na funkcijo časovne evolucije in časovno neodvisno enačba.
Časovno neodvisna Schrodingerjeva enačba
Za statične situacije ali rešitve, ki tvorijo stoječe valove (na primer potencialni vodnjak, rešitve v slogu »delci v škatli«), lahko valovno funkcijo ločite na časovne in prostorske dele:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Ko greš skozi to v celoti, se časovni del lahko prekliče, tako da ostane oblika Schrodingerjeve enačbesamoje odvisna od lege delca. Časovno neodvisno valovno funkcijo nato dobimo z:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
TukajEje energija kvantno-mehanskega sistema inHje Hamiltonov operator. Ta oblika enačbe ima natančno obliko enačbe lastne vrednosti z valovno funkcijo je lastna funkcija in energija je lastna vrednost, ko se uporabi Hamiltonov operator temu. Če razširimo Hamiltonian v bolj eksplicitno obliko, ga lahko v celoti zapišemo kot:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ delno ^ 2 Ψ} {\ delno x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Časovni del enačbe vsebuje funkcija:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Rešitve časovno neodvisne Schrodingerjeve enačbe
Časovno neodvisna Schrodingerjeva enačba je primerna za dokaj enostavne rešitve, ker zmanjša celotno obliko enačbe. Popoln primer tega je skupina raztopin "delec v škatli", kjer se domneva, da je delec v neskončnem kvadratnem potencialnem vodnjaku v eni dimenziji, torej ni ničelnega potenciala (tj.V= 0) v celotnem območju in ni verjetnosti, da bi bil delček izven vodnjaka.
Obstaja tudi končni kvadratni vodnjak, kjer potencial na "stenah" vodnjaka ni neskončen in četudi je večji od energije delca, obstajanekajmožnost iskanja delca zunaj njega zaradi kvantnega tuneliranja. Za neskončno potencialno vrtino imajo rešitve obliko:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
KjeLje dolžina vodnjaka.
Potencial delta funkcije je zelo podoben konceptu potencialne vrtine, razen pri širiniLgre na nič (tj. da je neskončno majhna okoli ene točke) in globina vrtine v neskončnost, medtem ko zmnožek obeh (U0) ostaja konstantna. V tej zelo idealizirani situaciji obstaja samo eno vezano stanje, ki ga podaja:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Z energijo:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Rešitev vodikovega atoma za Schrodingerjevo enačbo
Končno ima rešitev vodikovega atoma očitne aplikacije za fiziko v resničnem svetu, v praksi pa situacijo kajti elektron okoli jedra vodikovega atoma je lahko precej podoben potencialni vrtini težave. Vendar je situacija tridimenzionalna in je najbolje opisana v kroglastih koordinatahr, θ, ϕ. Rešitev v tem primeru daje:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
KjePso Legendrov polinom,Rso posebne radialne rešitve inNje konstanta, ki jo popravite z dejstvom, da je treba valovno funkcijo normalizirati. Enačba daje energijske ravni, podane z:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
KjeZtukaj je atomsko število (torejZ= 1 za atom vodika),ev tem primeru je naboj elektrona (in ne konstantae = 2.7182818...), ϵ0 je propustnost prostega prostora inμje zmanjšana masa, ki temelji na masi protona in elektrona v atomu vodika. Ta izraz je dober za vsak atom, podoben vodiku, kar pomeni vsako situacijo (vključno z ioni), kjer obstaja en elektron, ki kroži okoli osrednjega jedra.