Naj gre za drsalko, ki jo vleče za roke in se vrti hitreje kot ona ali mačka, ki nadzoruje, kako hitro se vrti med padcem, da se zagotovi, da se postavi na noge, je koncept vztrajnostnega trenutka ključnega pomena za fiziko rotacije gibanje.
Drugače znan kot rotacijska vztrajnost, je vztrajnostni moment rotacijski analog mase v drugi Newtonov zakon gibanja, ki opisuje težnjo predmeta, da se upre kotnemu pospešku.
Koncept se sprva morda ne zdi preveč zanimiv, vendar v kombinaciji z zakonom o ohranjanju kotnega zagon, ga lahko uporabimo za opisovanje številnih fascinantnih fizikalnih pojavov in napovedovanje gibanja v širokem razponu situacijah.
Opredelitev trenutka vztrajnosti
Vztrajnostni moment predmeta opisuje njegovo odpornost na kotni pospešek, pri čemer se upošteva porazdelitev mase okoli njegove vrtilne osi.
V bistvu kvantificira, kako težko je spremeniti hitrost vrtenja predmeta, ne glede na to, ali to pomeni začeti njegovo vrtenje, ustaviti ali spremeniti hitrost že vrtljivega predmeta.
Včasih se imenuje rotacijska vztrajnost in koristno je o njej razmišljati kot o analogu mase v Newtonovem drugem zakonu:Fmreža = ma. Tu maso predmeta pogosto imenujemo vztrajnostna masa in opisuje odpornost predmeta na (linearno) gibanje. Vrtljiva vztrajnost deluje tako kot pri rotacijskem gibanju in matematična definicija vedno vključuje maso.
Enakovreden izraz drugega zakona za rotacijsko gibanje se nanašanavor (τ, rotacijski analog sile) do kotnega pospeškaαin vztrajnostni momentjaz:
\ tau = I \ alfa
Isti predmet ima lahko več vztrajnostnih trenutkov, ker pa je velik del definicije približno porazdelitev mase, hkrati pa tudi lokacija osi vrtenja.
Na primer, medtem ko je vztrajnostni moment palice, ki se vrti okoli njenega središča,jaz = ML2/ 12 (kjerMje masa inLje dolžina palice), ima ista palica, ki se vrti okoli enega konca, vztrajnostni moment, ki ga dajejaz = ML2/3.
Enačbe za moment vztrajnosti
Torej je vztrajnostni trenutek telesa odvisen od njegove maseM, njegov polmerRin njegovo vrtilno os.
V nekaterih primerih,Rse imenujed, za razdaljo od osi vrtenja, v drugih (kot pri palici v prejšnjem odseku) pa jo nadomesti dolžina,L. Simboljazse uporablja za vztrajnostni moment in ima enote kg m2.
Kot bi lahko pričakovali na podlagi tega, kar ste se doslej naučili, obstaja veliko enačb za vztrajnostni trenutek in vsaka se nanaša na določeno obliko in določeno os vrtenja. V vseh trenutkih vztrajnosti izrazGOSPOD2 pojavi se, čeprav so za različne oblike pred tem izrazom različni ulomki, v nekaterih primerih pa je lahko več izrazov, povzeto skupaj.
TheGOSPOD2 komponenta je vztrajnostni moment točkovne mase na daljavoRod osi vrtenja, enačba za določeno togo telo pa je sestavljena kot vsota točkovnih mas ali z integracijo neskončnega števila majhnih točkovnih mas nad predmetom.
Medtem ko je v nekaterih primerih koristno izpeljati vztrajnostni moment predmeta na podlagi preproste aritmetične vsote točkovnih mas ali integriranja, v praksi obstaja veliko rezultatov za običajne oblike in osi vrtenja, ki jih lahko preprosto uporabite, ne da bi jih bilo treba izpeljati najprej:
Poln valj (os simetrije):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Poln valj (os osrednjega premera ali premer krožnega prereza na sredini valja):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Polna krogla (os):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Tanka sferična lupina (osrednja os):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Obroč (os simetrije, tj. Pravokotno skozi sredino):
I = MR ^ 2
Obroč (premer osi, tj. Čez premer kroga, ki ga tvori obroč):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Palica (sredinska os, pravokotna na dolžino palice):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Palica (vrtljiva okoli konca):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Rotacijska vztrajnost in os vrtenja
Razumevanje, zakaj obstajajo različne enačbe za vsako os vrtenja, je ključni korak za razumevanje koncepta vztrajnostnega trenutka.
Pomislite na svinčnik: vrtite ga lahko tako, da ga vrtite okoli na sredini, do konca ali tako, da ga zasukate okoli njegove osrednje osi. Ker je rotacijska vztrajnost predmeta odvisna od porazdelitve mase okoli osi vrtenja, je vsaka od teh situacij različna in za opis zahteva ločeno enačbo.
Nagonsko razumevanje koncepta vztrajnostnega trenutka lahko dobite, če ta isti argument povečate na 30-metrski drog zastave.
Vrtenje konca čez konec bi bilo zelo težko - če bi ga sploh lahko obvladovali -, medtem ko bi bilo zasukanje pola okoli njegove osrednje osi veliko lažje. To je zato, ker je navor močno odvisen od razdalje od osi vrtenja in od 30 metrov Primer zastave, vrtenje konca čez konec vključuje vsak skrajni konec 15 metrov stran od osi rotacija.
Če pa ga zasukate okoli osrednje osi, je vse povsem blizu osi. Situacija je podobna nošenju težkega predmeta na dosegu roke vs. držite ga ob telesu ali upravljajte z ročico od konca vs. blizu oporišča.
Zato potrebujete drugačno enačbo za opis vztrajnostnega trenutka za isti predmet, odvisno od vrtilne osi. Izbrana os vpliva na to, kako daleč so deli telesa od osi vrtenja, čeprav masa telesa ostaja enaka.
Uporaba enačb za moment vztrajnosti
Ključ za izračun vztrajnostnega trenutka za trdo telo je učenje uporabe in uporabe ustreznih enačb.
Razmislite o svinčniku iz prejšnjega oddelka, ki se vrti od konca do konca okoli osrednje točke po svoji dolžini. Čeprav nipopolnopalica (koničast vrh na primer lomi to obliko) jo je mogoče modelirati kot tako, da vam prihrani celoten trenutek vztrajnostne določitve predmeta.
Torej, pri modeliranju predmeta kot palice bi uporabili naslednjo enačbo, da bi našli moment vztrajnosti v kombinaciji s skupno maso in dolžino svinčnika:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Večji izziv je najti vztrajnostni trenutek za sestavljene predmete.
Na primer, razmislite o dveh kroglicah, ki sta med seboj povezani s palico (ki jo bomo zaradi poenostavitve obravnavali kot brez mase). Kroglica ena je 2 kg in je nameščena 2 m stran od osi vrtenja, druga krogla pa je 5 kg mase in 3 m oddaljena od osi vrtenja.
V tem primeru lahko vztrajnostni trenutek za ta sestavljeni predmet najdete tako, da vsako kroglo obravnavate kot točkovno maso in izhajate iz osnovne definicije, ki:
\ začetek {poravnano} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ konec {poravnano}
Z indeksi preprosto razlikujejo med različnimi predmeti (tj. Krogla 1 in žoga 2). Predmet z dvema kroglicama bi potem imel:
\ začetek {poravnano} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ besedilo {kg} × (2 \; \ besedilo {m}) ^ 2 + 5 \; \ besedilo {kg} × (3 \; \ besedilo {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ besedilo {kg m} ^ 2 + 45 \; \ besedilo {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ besedilo {kg m} ^ 2 \ konec {poravnano}
Vztrajnostni moment in ohranjanje kotnega zagona
Kotni moment (rotacijski analog za linearni moment) je opredeljen kot zmnožek rotacijske vztrajnosti (tj. Momenta vztrajnosti,jaz) predmeta in njegovo kotno hitrostω), ki se meri v stopinjah / s ali rad / s.
Nedvomno boste poznali zakon o ohranjanju linearnega giba, na enak način pa se ohranja tudi kotni moment. Enačba za kotni momentL) je:
L = Iω
Razmišljanje o tem, kaj to v praksi pomeni, razloži številne fizikalne pojave, kajti (v odsotnosti drugih sil) je večja rotacijska vztrajnost predmeta, nižja je njegova kotna hitrost.
Razmislite o drsalcu, ki se vrti s konstantno kotno hitrostjo z iztegnjenimi rokami in upoštevajte, da njegove iztegnjene roke povečajo polmerRo katerem je razporejena njegova masa, kar vodi do večjega vztrajnostnega trenutka, kot če bi mu bile roke blizu telesa.
ČeL1 izračuna se z iztegnjenimi rokami inL2, kaj potem, ko vleče roke, mora imeti enako vrednost (ker se ohranja kotni moment), kaj se zgodi, če z vztrajnostjo zmanjša svoj vztrajnostni moment? Njegova kotna hitrostωpoveča za kompenzacijo.
Mačke izvajajo podobne gibe, da jim pomagajo pristati na nogah ob padcu.
Z iztegovanjem nog in repa povečajo svoj vztrajnostni trenutek in zmanjšajo hitrost vrtenja, in obratno lahko vlečejo v noge, da zmanjšajo svoj vztrajnostni moment in povečajo hitrost vrtenja. Ti dve strategiji - skupaj z drugimi vidiki njihovega „usmerjevalnega refleksa“ - uporabljajo za zagotovitev, da stopala pristanejo Najprej lahko vidite različne faze zvijanja in raztezanja na časovnih zamikih mačk pristanek.
Trenutek vztrajnosti in rotacijske kinetične energije
Nadaljujejo vzporednice med linearnim gibanjem in rotacijskim gibanjem, predmeti pa imajo tudi rotacijsko kinetično energijo na enak način kot linearno kinetično energijo.
Pomislite na kroglo, ki se valja po tleh, tako da se vrti okoli svoje osne osi in se linearno premika naprej: Skupna kinetična energija žoge je vsota njene linearne kinetične energijeEk in njegova rotacijska kinetična energijaEgniloba. Vzporednice med tema dvema energijama se odražajo v enačbah obeh, pri čemer se spomnimo, da je objekt vztrajnostni moment je rotacijski analog mase, njegova kotna hitrost pa linearni rotacijski analog hitrostv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Jasno lahko vidite, da imata obe enačbi popolnoma enako obliko, pri čemer so enačbe rotacijske kinetične energije nadomeščene z ustreznimi rotacijskimi analogi.
Seveda boste morali za izračun kinetične energije vrtenja nadomestiti ustrezen izraz za trenutek vztrajnosti predmeta v prostor zajaz. Glede na žogo in modeliranje predmeta kot trdne krogle je enačba v tem primeru:
\ začetek {poravnano} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ konec {poravnano}
Skupna kinetična energija (Etot) je vsota te in kinetične energije žoge, zato lahko zapišete:
\ začetek {poravnano} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { poravnano}
Za 1-kilogramsko kroglo, ki se premika z linearno hitrostjo 2 m / s, s polmerom 0,3 m in s kotno hitrostjo 2π rad / s, bi bila skupna energija:
\ začetek {poravnano} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ besedilo {kg} × (2 \; \ besedilo {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ besedilo {kg} × (0,3 \; \ besedilo {m}) ^ 2 × (2π \; \ besedilo {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ besedilo {J} + 0,71 \; \ besedilo {J} \\ & = 2,71 \; \ besedilo {J} \ end {poravnano}
Glede na situacijo ima lahko predmet le linearno kinetično energijo (na primer žoga, s katere je padla višina brez vrtenja na njej) ali samo rotacijska kinetična energija (kroglica se vrti, a ostane na svojem mestu).
Ne pozabite, da jeskupajohranjena energija. Če žogico brcnemo v steno brez začetnega vrtenja in se ta vrne z nižjo hitrostjo, vendar s predanim vrtljajem, pa tudi energijo ko se je ob stiku izgubil zaradi zvoka in toplote, je bil del začetne kinetične energije prenesen v rotacijsko kinetično energijo, zatone morepo možnosti se premikajte tako hitro kot pred vrnitvijo nazaj.