Kako najti največji skupni faktor dveh števil

Iskanje največjega skupnega faktorja (GCF) dveh števil je koristno v številnih matematičnih situacijah, zlasti pri poenostavljanju ulomkov. Če se s tem borite ali iščete skupne imenovalce, vam bo učenje dveh metod za iskanje skupnih dejavnikov pomagalo doseči to, kar si zastavite. Najprej pa je dobro spoznati osnove dejavnikov; nato si lahko ogledate dva pristopa za iskanje skupnih dejavnikov. Na koncu si lahko ogledate, kako svoje znanje uporabiti za poenostavitev drobca.

Dejavniki so števila, ki jih pomnožite, da dobite drugo število. Na primer, 2 in 3 sta faktorja 6, ker je 2 × 3 = 6. Podobno sta 3 in 3 faktorja 9, ker je 3 × 3 = 9. Kot morda že veste, so praštevila številke, ki nimajo drugih dejavnikov razen sebe in 1. Torej 3 je praštevilo, ker sta edini dve celi števili (celi števili), ki se lahko pomnožita, da dobita 3 kot odgovor, 3 in 1. Na enak način je 7 praštevilo in prav tako 13.

Zaradi tega je pogosto koristno razčleniti število na "glavne dejavnike". To pomeni, da najdemo vse faktorje praštevila drugega števila. Število v bistvu razdeli na temeljne "gradnike", kar je koristen korak k temu iskanje največjega skupnega faktorja dveh števil in je neprecenljivo tudi pri poenostavljanju kvadrata korenine.

Najenostavnejša metoda za iskanje največjega skupnega faktorja dveh števil je preprosto naštevanje vseh faktorjev vsakega števila in iskanje največjega števila, ki ga imata oba. Predstavljajte si, da želite najti najvišji skupni faktor 45 in 60. Najprej si oglejte različna števila, ki jih lahko pomnožite, da dobite 45.

Najlažji način je, da začnete z dvema, za katera veste, da bosta delovala, tudi za praštevilo. V tem primeru poznamo 1 × 45 = 45, zato vemo, da sta 1 in 45 dejavnika 45. To so prvi in ​​zadnji faktorji 45, tako da jih lahko preprosto izpolnite od tam. Nato ugotovite, ali je faktor 2. To je enostavno, saj bo katero koli sodo število deljivo z 2, vsako liho število pa ne. Tako vemo, da 2 ni faktor 45. Kaj pa 3? Morali bi opaziti, da je faktor 3 45, ker je 3 × 15 = 45 (vedno lahko gradite na tem, kar ste vedeti, da se bo to rešilo, na primer, vedeli boste, da je 3 × 12 = 36, in dodajanje trojk k temu vas pripelje do 45).

Nato je 4 faktor 45? Ne - saj veste 11 × 4 = 44, torej ne more biti! Dalje, kaj pa 5? To je še eno enostavno, saj je katero koli število, ki se konča z 0 ali 5, deljivo s 5. In s tem lahko zlahka opazite tistih 5 × 9 = 45. Toda 6 ni dobro, ker je 7 × 6 = 42 in 8 × 6 = 48. Iz tega lahko tudi vidite, da 7 in 8 nista faktorja 45. Že vemo, da je 9, in lahko je videti, da 10 in 11 nista dejavnika. Nadaljujte s tem postopkom in opazili boste, da je 15 dejavnik, nič drugega pa ni.

Dejavniki 45 so torej: 1, 3, 5, 9, 15 in 45.

Za 60 let tečete skozi popolnoma enak postopek. Tokrat je število sodo (torej veste, da je 2 faktor) in deljivo z 10 (torej sta 5 in 10 oba dejavnika), kar stvari nekoliko olajša. Po ponovnem postopku bi morali videti, da so faktorji 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 in 60.

Primerjava obeh seznamov kaže, da je 15 največji skupni faktor 45 in 60. Ta metoda je lahko dolgotrajna, vendar je preprosta in bo vedno delovala. Začnete lahko tudi s katerim koli visokim skupnim faktorjem, ki ga opazite takoj, nato pa preprosto poiščete višje faktorje za vsako število.

Druga metoda iskanja GCF za dve števili je uporaba glavnih faktorjev. Postopek faktorizacije je nekoliko lažji in bolj strukturiran kot iskanje vseh dejavnikov. Gremo skozi postopek za 42 in 63.

Postopek faktorizacije v osnovi vključuje razčlenitev števila, dokler ne ostanejo samo praštevila. Najbolje je začeti z najmanjšim primerom (dve) in delati od tam. Tako je za 42 lahko videti, da je 2 × 21 = 42. Potem delo od 21: Je faktor 2? Ne. Je 3? Ja! 3 × 7 = 21, 3 in 7 pa sta praštevili. To pomeni, da so glavni faktorji 42 2, 3 in 7. Prvi "odmor" je uporabil 2, da je prišel do 21, drugi pa je to razčlenil na 3 in 7. To lahko preverite tako, da pomnožite vse svoje faktorje in preverite, ali dobite prvotno številko: 2 × 3 × 7 = 42.

Za 63 2 ni faktor, 3 pa je, ker je 3 × 21 = 63. Tudi tokrat se 21 razdeli na 3 in 7 - oba glavna - tako da poznate glavne dejavnike! Preverjanje pokaže, da je 3 × 3 × 7 = 63, kot je potrebno.

Najvišji skupni faktor najdemo tako, da preučimo, kateri glavni faktorji imata skupni številki. V tem primeru jih ima 42 2, 3 in 7, 63 pa 3, 3 in 7. Skupna sta jim 3 in 7. Če želite najti najvišji skupni faktor, pomnožite vse skupne osnovne faktorje skupaj. V tem primeru je 3 × 7 = 21, torej je 21 največji skupni faktor 42 in 63.

Prejšnji primer je mogoče tudi na ta način rešiti hitreje. Ker je 45 deljivo s tremi (3 × 15 = 45) in 15 je deljivo tudi s tremi (3 × 5 = 15), so glavni faktorji 45 3, 3 in 5. Za 60 je deljivo z dvema (2 × 30 = 60), 30 je deljivo tudi z dvema (2 × 15 = 30), nato pa vam ostane 15, za katere vemo, da imajo tri in pet kot glavna faktorja, zapustite 2, 2, 3 in 5. Če primerjamo dva seznama, sta skupna glavna faktorja tri in pet, zato je največji skupni faktor 3 × 5 = 15.

V primeru, da obstajajo trije ali več pogostih osnovnih faktorjev, jih vse skupaj pomnožite na enak način, da poiščete največji skupni faktor.

Če se vam predstavi ulomek, kot je 32/96, lahko naredi izračune, ki so za njim zelo zapleteni, razen če najdete način za poenostavitev ulomka. Če najdemo najnižji skupni faktor 32 in 96, bomo dobili število, ki ga bomo delili z, da bomo dobili preprostejši ulomek V tem primeru:

Za 96 postopek daje:

Jasno mora biti, da 2⁵ = 32 je najvišji skupni faktor. Če delimo oba dela ulomka z 32, dobimo:

Iskanje skupnih imenovalcev je podoben postopek. Predstavljajte si, da ste morali seštevati ulomka 15/45 in 40/60. Iz prvega primera vemo, da je 15 najvišji skupni faktor 45 in 60, zato jih lahko takoj izrazimo kot 5/15 in 10/15. Ker je 3 × 5 = 15 in sta števca tudi deljiva s pet, lahko oba dela obeh ulomkov delimo s pet, da dobimo 1/3 in 2/3. Zdaj jih je veliko lažje dodati in videti