Kako določiti neznani eksponent

Če vidite izraze 3² in 5³, boste morda z uspehom napovedali, da to pomeni "tri na kvadrat" in "pet kock", in lahko iščete enakovredna števila brez eksponentov, številke, ki jih zgoraj desno zgoraj predstavljajo nadpiski. V tem primeru sta številki 9 in 125.

Kaj pa, če namesto recimo preproste eksponentne funkcije, kot je y = x ³, namesto tega morate rešiti enačbo, kot je y = 3^x. Tu se x, odvisna spremenljivka, pojavi kot eksponent. Ali obstaja možnost, da to spremenljivko potegnemo s hrbta, da jo lažje matematično obravnavamo?

Pravzaprav obstaja, odgovor pa je v naravni dopolnitvi eksponentov, ki so znane kot zabavne in koristne količine logaritmi.

An eksponent, imenovano tudi a moč, je stisnjen način samostojnega ponavljanja množenja števila. 4⁵ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.

• Vsako število, dvignjeno na 1, ima enako vrednost; poljubno število z eksponentom 0 je enako 1. Na primer 72¹ = 72; 72⁰ = 1.

Eksponenti so lahko negativni, kar ustvarja odnos x⁻ⁿ= 1 / (xⁿ). Lahko so izraženi tudi kot ulomki, npr. 2

Logaritme ali "dnevnike" lahko obravnavamo kot eksponente, izražene kot nekaj drugega kot potenca. To verjetno ne pomaga veliko, zato bosta morda primer ali dva.

V izrazu 10³ = 1,000, številka 10 je osnova, in se dvigne na tretjo stopnjo (oz moč tri). To lahko izrazite kot: "osnova 10, dvignjena na tretjo stopnjo, je enaka 1.000."

Primer logaritma je log₁₀(1,000) = 3. Upoštevajte, da so številke in njihovi odnosi med seboj enaki kot v prejšnjem primeru, vendar so bili premaknjeni. Z besedami to pomeni: "osnova dnevnika 10 od 1.000 je enaka 3."

Količina na desni je moč, na katero je treba dvigniti osnovo 10, da je enaka prepirali vnos dnevnika, vrednost v oklepajih (v tem primeru 1.000). Ta vrednost mora biti pozitivna, ker je osnova - ki je lahko tudi število, ki ni 10, vendar se domneva, da je 10, če je izpuščeno, npr. "Log 4" - vedno tudi pozitivna.

Torej, kako lahko enostavno delate med dnevniki in eksponenti? Nekaj ​​pravil o vedenju dnevnikov vam lahko pomaga pri eksponentnih težavah.

Z zgornjimi informacijami ste pripravljeni poskusiti rešiti eksponent v enačbi.

Primer: Če je 50 = 4^x, kaj je x?

Če odnesete dnevnik na osnovo 10 vsake strani in izpustite izrecno identifikacijo osnove, postane log 50 = dnevnik 4^x. Iz zgornjega polja veste, da je dnevnik 4^x = x log 4. To vas pusti

dnevnik 50 = x dnevnik 4 ali x = (dnevnik 50) / (dnevnik 4).

Z izbranim kalkulatorjem ali elektronsko napravo ugotovite, da je rešitev (1.689 / 0.602) = 2.82.

Ista osnova veljajo, kadar je osnova e, tako imenovani naravni logaritem, ki ima vrednost približno 2,7183. Gumb za to bi morali imeti tudi na vašem kalkulatorju. Tudi ta vrednost dobi svoj zapis: log_ex je zapisano preprosto "ln x."

• Funkcija y = e^x i, pri čemer e ni spremenljivka, temveč konstanta s to vrednostjo, je edina funkcija z naklonom, enakim lastni višini za vse x in y.
  
• Tako kot dnevnik₁₀10^x = x, ln e^x = x za vse x.

Primer: Reši enačbo 16 = e^2,7-krat.

Kot zgoraj je ln 16 = ln e^2,7-krat = 2,7x.

ln 16 = 2,77 = 2,7x, torej x = 2/77 / 2,7 = 1.03.