Algebra je polna ponavljajočih se vzorcev, ki bi jih lahko vsakič izračunali z aritmetiko. Ker pa so ti vzorci tako pogosti, običajno obstaja nekakšna formula, ki olajša izračune. Kocka binoma je odličen primer: če bi jo morali vsakič rešiti, bi veliko časa porabili za svinčnik in papir. Ko pa že poznate formulo za reševanje te kocke (in nekaj priročnih trikov, da si jo zapomnite), je iskanje odgovora tako preprosto, kot če priključite prave izraze v prave reže spremenljivk.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Formula za kocko binoma (a + b) je:
(a + b)3 = a3 + 3_a_2b + 3_ab_2 + b3
Izračun kocke dvoma
Ko opazite takšno težavo, ni treba paničariti (a + b)3 pred tabo. Ko ga razstavite na znane komponente, bo začel izgledati kot bolj znani matematični problemi, ki ste jih že počeli.
V tem primeru si pomaga, da se tega spomnimo
(a + b)3
je enako kot
(a + b) (a + b) (a + b), kar bi moralo izgledati veliko bolj znano.
Toda namesto da bi vsakič izračunali matematiko iz nič, lahko uporabite "bližnjico" formule, ki predstavlja odgovor, ki ga boste dobili. Tu je formula za kocko binoma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Če želite uporabiti formulo, določite, katera števila (ali spremenljivke) zasedajo reži za "a" in "b" na levi strani enačbi, nato enaka števila (ali spremenljivke) nadomestite v reži "a" in "b" na desni strani formula.
Primer 1: Rešiti (x + 5)3
Kot lahko vidite, x zasede režo "a" na levi strani formule, 5 pa režo "b". Zamenjava x in 5 na desno stran formule vam da:
x3 + 3x25 + 3x52 + 53
Nekoliko poenostavitev vas približa odgovoru:
x3 + 3 (5) x2 + 3 (25) x + 125
In končno, ko poenostavite, kolikor je le mogoče:
x3 + 15x2 + 75x + 125
Kaj pa odštevanje?
Za rešitev težave, kot je, ne potrebujete drugačne formule (y - 3)3. Če se tega spomniš y - 3 je enako kot y + (-3), lahko preprosto napišete težavo na [y + (-3)]3 in ga rešite s svojo znano formulo.
2. primer: Rešiti (y - 3)3
Kot smo že omenili, je vaš prvi korak težava prepisati na [y + (-3)]3.
Nato si zapomnite svojo formulo za kocko binoma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
V vaši težavi y zasede režo "a" na levi strani enačbe, -3 pa režo "b". Namestite jih v ustrezne reže na desni strani enačbe, pri tem pazite, da v oklepajih ohranite negativni znak pred -3. To vam omogoča:
y3 + 3 leta2(-3) + 3 leta (-3)2 + (-3)3
Zdaj je čas za poenostavitev. Še enkrat, bodite pozorni na ta negativni znak, ko uporabljate eksponente:
y3 + 3 (-3) let2 + 3 (9) y + (-27)
Še en poenostavitveni krog vam da odgovor:
y3 - 9 let2 + 27y - 27
Pazite na vsoto in razlike kock
Vedno bodite pozorni, kje so eksponenti v vašem problemu. Če vidite težavo v obrazcu (a + b)3, ali [a + (-b)]3, potem je formula, o kateri smo govorili tukaj, ustrezna. Če pa je videti vaš problem (a3 + b3) ali (a3 - b3), to ni kocka binoma. To je vsota kock (v prvem primeru) ali razlika kock (v drugem primeru), v tem primeru uporabite eno od naslednjih formul:
(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(a3 - b3) = (a - b) (a2 + ab + b2)