Maxwell-Boltzmannova porazdelitev: funkcija, izpeljava in primeri

Opisovanje dogajanja z zelo majhnimi delci je izziv v fiziki. Ne samo, da je z njihovo velikostjo težko delati, ampak v večini vsakdanjih aplikacij nimate opravka z enim samim delcem, ampak nešteto izmed njih medsebojno komunicira.

Znotraj trdne snovi se delci ne premikajo drug mimo drugega, ampak se precej zataknejo na svojem mestu. Trdne snovi pa se lahko širijo in krčijo s temperaturnimi nihanji, včasih pa se v določenih situacijah celo spremenijo v kristalne strukture.

V tekočinah se delci prosto gibljejo drug mimo drugega. Znanstveniki pa običajno ne preučujejo tekočin, tako da poskušajo spremljati, kaj počne vsaka posamezna molekula. Namesto tega preučujejo večje lastnosti celote, kot so viskoznost, gostota in tlak.

Tako kot pri tekočinah se tudi delci v plinu prosto gibljejo drug mimo drugega. Dejansko se lahko plini močno razlikujejo v prostornini zaradi temperaturnih in tlačnih razlik.

Spet ni smiselno preučevati plina tako, da spremljamo, kaj počne vsaka posamezna molekula plina, tudi v toplotnem ravnovesju. To ne bi bilo izvedljivo, še posebej, če pomislite, da jih je tudi v prostoru praznega kozarca okrog 10

Vrsto plina, ki jo je najlažje analizirati, je idealen plin. Idealen je, ker omogoča nekatere poenostavitve, zaradi katerih je fizika veliko lažje razumljiva. Številni plini pri običajnih temperaturah in tlakih delujejo približno kot idealni plini, zaradi česar je tudi njihovo proučevanje koristno.

V idealnem plinu naj bi same molekule plinov trčile v popolnoma elastičnih trkih, tako da vam zaradi takšnih trkov ni treba skrbeti za spremembo oblike energije. Predpostavlja se tudi, da so molekule zelo oddaljene med seboj, kar v bistvu pomeni vam ni treba skrbeti, da se bodo med seboj borili za vesolje in jih lahko obravnavate kot točke delcev. Idealni plini tudi niso prevroči in ne prehladni, zato vam ni treba skrbeti za učinke, kot so ionizacija ali kvantni učinki.

Od tu lahko delce plina obravnavamo kot drobne pikaste delce, ki se premetavajo v njihovi posodi. Toda tudi s to poenostavitvijo še vedno ni mogoče razumeti plinov s sledenjem, kaj dela vsak posamezen delček. Vendar pa znanstvenikom omogoča razvoj matematičnih modelov, ki opisujejo razmerja med makroskopskimi veličinami.

Zakon o idealnem plinu povezuje tlak, prostornino in temperaturo idealnega plina. TlakPplina je sila na enoto površine, ki jo deluje na stene posode, v kateri je. Enota tlaka SI je paskal (Pa), kjer je 1Pa = 1N / m². GlasnostVplina je prostor, ki ga zavzame v enotah SI m³. In temperaturaTplina je merilo povprečne kinetične energije na molekulo, izmerjene v enotah Kelvina.

Enačbo, ki opisuje zakon o idealnem plinu, lahko zapišemo na naslednji način:

KjeNje število molekul ali število delcev in Boltzmannova konstantak​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/ s²K.

Enakovredna formulacija tega zakona je:

Kjenje število molov in univerzalna plinska konstantaR= 8,3145 J / molK.

Ta dva izraza sta enakovredna. Katerega se boste odločili, je preprosto odvisno od tega, ali merite število molekul v molih ali številu molekul.

• 1 mol = 6,022 × 10²³ molekul, kar je Avogadrovo število.

Ko je plin približno enak idealnemu, lahko dodatno poenostavite. To pomeni, da namesto da bi upoštevali natančno fiziko vsake molekule - kar bi bilo nemogoče zaradi njihovega velikega števila -, se z njimi ravna, kot da so njihovi gibi naključni. Zaradi tega lahko uporabimo statistične podatke, da razumemo, kaj se dogaja.

V 19. stoletju sta fizika James Clerk Maxwell in Ludwig Boltzmann na podlagi opisanih poenostavitev razvila kinetično teorijo plinov.

Klasično ima lahko vsaka molekula v plinu kinetično energijo, ki ji je pripisana v obliki:

Vendar nima vsaka molekula v plinu enake kinetične energije, ker se nenehno trčijo. Natančna porazdelitev kinetičnih energij molekul je podana z Maxwell-Boltzmannovo porazdelitvijo.

Maxwell-Boltzmannova statistika opisuje porazdelitev molekul idealnega plina v različnih energetskih stanjih. Funkcija, ki opisuje to porazdelitev, je naslednja:

KjeAje normalizacijska konstanta,Eje energija,kje Boltzmannova konstanta inTje temperatura.

Nadaljnje predpostavke za pridobitev te funkcije so, da zaradi narave točkovnih delcev ni omejitve, koliko delcev lahko zasede določeno stanje. Tudi porazdelitev delcev med energijskimi stanji je nujno najbolj verjetna (s večje število delcev, verjetnost, da plin ne bo blizu tej porazdelitvi, postaja vse večja majhen). In končno, vsa energetska stanja so enako verjetna.

Te statistike delujejo, ker je zelo malo verjetno, da bi kateri koli dani delci lahko dobili energijo, ki je bistveno nad povprečjem. Če bi se, bi ostalo veliko manj načinov za razdelitev preostale celotne energije. Zniža se na igro številk - ker je veliko več energijskih stanj, ki nimajo delcev daleč nadpovprečno, je verjetnost, da bi bil sistem v takem stanju, izginjajoče majhna.

Vendar so energije, nižje od povprečja, verjetnejše, spet zaradi tega, kako se verjetnosti pokažejo. Ker se vsa gibanja štejejo za naključna in obstaja več načinov, kako lahko delec konča v nizkoenergijskem stanju, so ta stanja naklonjena.

Maxwell-Boltzmannova porazdelitev je porazdelitev hitrosti idealnih delcev plina. To funkcijo porazdelitve hitrosti je mogoče izpeljati iz Maxwell-Boltzmannove statistike in uporabiti za določanje razmerja med tlakom, prostornino in temperaturo.

Porazdelitev hitrostivje podan z naslednjo formulo:

Kjemje masa molekule.

Povezana krivulja porazdelitve s funkcijo porazdelitve hitrosti nay-os in molekularna hitrost nax-os, izgleda približno kot asimetrična normalna krivulja z daljšim repom na desni. Najvišjo vrednost ima pri najverjetnejši hitrostiv_str, in povprečno hitrost, določeno z:

Upoštevajte tudi, kako ima dolg ozek rep. Krivulja se pri različnih temperaturah nekoliko spremeni, dolgi rep pa pri višjih temperaturah postane "debelejši".

Uporabite razmerje:

KjeE_intje notranja energija,KE​_{​povprečno​} je povprečna kinetična energija na molekulo iz Maxwell-Boltzmannove porazdelitve. Skupaj z zakonom o idealnem plinu je mogoče dobiti razmerje med tlakom in prostornino v smislu molekularnega gibanja: